8.10 Диференційне рівняння молекулярної дифузії ( другий закон Фіка)

Для виведення диференційного рівняння молекулярної дифузії виділимо в нерухомому середовищі або в рухомому ламінарному потоці елементарний паралелепіпед з ребрами dx, dy, dz (рис. 8.9.1).

Якщо через цей елементарний паралелепіпед за рахунок молекулярної дифузії переміщується речовина, що розподіляється, то через ліву задню і нижню грань за час dτ в нього входять кількості речовини, відповідно М_х, M_y, М_z, а через протилежні грані - праву, передню і верхню - виходять кількості речовини відповідно M_x+dx ,M_y+dy ,M_z+dz. Отже, елемент за час dτ набуває дифундуючої речовини в кількості

dM=(M_x - M_x+dx)+(M_y- M_y+dy)+(M_z - M_z+dz).

При цьому концентрація дифундуючої речовини підвищується на

Згідно основного закону молекулярної дифузії,

Отже,

Аналогічно знайдемо:

Складемо ліві та праві частини останніх рівнянь, отримаємо:

(8.10.1)

З іншої сторони, той же приріст кількості дифундуючої речовини в елементі можна знайти множенням об'єму елемента на зміну концентрацію за час dτ, тобто

(8.10.2).

Співставимо вирази (8.10.1) і (8.10.2) і отримаємо диференційне рівняння молекулярної дифузії:

(8.10.3)

8.11 Закон масовіддачі ( закон Щукарева)

Основний закон масовіддачі, або конвективної дифузії, був вперше сформульований Щукаревим при вивченні кінетики розчинення твердих тіл.

Він може бути сформульован так:

кількість речовини перенесеної від поверхні розподілу фаз у сприймаючу фазу, пропорційна різниш концентрацій у поверхні розподілу Фаз і в ядрі потоку сприймаючої фази, поверхні фазового контакту і часу ( рис..8.11.2):

d²M = p(C_r-C_f )dFdτ, (8.11.1)

де β- коефіцієнт масовіддачі - характеризує переніс речовини конвективними і дифузійними потоками одночасно; С_r - концентрація у сприймаючій фазі біля поверхні розподілу фаз; Сf- концентрація в ядрі потоку сприймаючої фази.

При цьому слід зазначити, що концентрація на границі розглядається як рівноважна концентрація.

Якщо прийняти одиницю виміру

[М]=кг, [F]=m², [τ]=с, [С]=кг/м³, то одиниця виміру β буде:

Коефіцієнт масовіддачі показує, яка кількість речовини передається від поверхні розподілу фаз у сприймаючу Фазу через один м² поверхні Фазового контакту протягом 1с при різниці концентрацій, рівній одиниці.

Рис. 8.11.1. До виводу диференційного рівняння молекулярної дифузії

Рис.8.11.2. До визначення закону конвективної дифузії.

8.12 Диференційне рівняння масовіддачі ( конвективної дифузії)

В основу розгляду явищ конвективної дифузії покладено теорію дифузійного граничного шару. Згідно цієї теорії ( рис.8.11.2), речовина, що розподіляється, переноситься з ядра потоку рідини до границі розподілу фаз безпосередньо потоками рідини і молекулярною дифузією. В системі, що розглядається, потік можна вважати таким, який складається з двох частин: ядра і граничного дифузійного шару. В ядрі переніс речовини здійснюється переважно струменями рідини в умовах турбулентності течії; концентрація речовини, що розподіляється, в даному перерізі в умовах стаціонарного режиму зберігається постійною по мірі наближення до граничного дифузійного шару турбулентний переніс затухає, з приближенням до границі починає переважати переніс за рахунок молекулярної дифузії. Відповідно до цього з'являється градієнт концентрації речовини, що розподіляється, що зростає з приближенням до границі.

При наявності конвективної дифузії концентрація речовини, що розподіляється, в елементарному об'ємі фази (див. рис. 8.11.1) змінюється не лише в наслідок молекулярної дифузії, але також і в результаті механічного переносу його із зони однієї концентрації в другу. В цьому випадку концентрація речовини, що розподіляється, буде функцією не лише координат х, у, z і часу т, але складовою швидкості переміщення елемента ω_х, ω_y, ω_z.

При конвективній дифузії елемент переміщується з однієї точки простору в іншу. В цьому випадку зміна концентрації розподіляючої речовини в елементі може бути виражено за допомогою субстанційної похідної, котра враховує зміну величини з часом і зміни, пов'язані з переміщенням елемента з однієї точки простору в другу:

(8.12.1)

В рівнянні (8.12.1) являє собою локальну зміну концентрації речовини, що розподіляється, а – конвективну зміну концентрації.

Якщо в рівнянні молекулярної дифузії (8.10.3) замінити локальну зміну концентрації

повним , згідно (8.12.1),. то в результаті отримаємо диференційне рівняння конвективної дифузії:

(8.12.2)

Це рівняння є математичним описанням процесу переміщення в рідкій (газовій) фази конвективної дифузії.