1-й семестр / Кривые второго порядка

Эллипс – множество точек, сумма расстояний которых до 2-х

Горизонтальное расположение: фокусы на ОХ

данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная,

x2

y2

1 (большая полуось под х)

равная 2a>0

a2

b2

Расстояние между фокусами:

F1F2

2c 0

Фокусы на ОХ: F1(c;0) F2(-c;0)

F1M

F2M

2a - эллипс

Полуоси: a=OA2 – большая

b = OB1 – малая

Каноническое уравнение эллипса с центром О(0;0)

Вершины: A1,2(±a;0)

x2

y2

1 или

x2

y2

1

B1,2 (0;±b)

a2

b2

b2

a2

Вертикальное расположение: фокусы на ОY

Характеристики эллипса:

x

2

y

2

1 (большая полуось под у)

а – большая полуось a b Всегда!

b

2

2

a

b – малая полуось b2

a2 c2

Фокусы на ОХ: F1(0;-с) F2(0;с)

с – половина расстояния между фокусами c2 a2 b2

Полуоси: a=OA2 – большая

Ԑ - эксцентриситет (степень вытянутости эллипса) Ԑ=с/а

b = OB1 – малая

A1,2 B1,2 - вершины эллипса

Вершины: A1,2(0;±a)

Основной прямоугольник

B1,2 (±b;0)

Гипербола – множество точек, модуль разности расстояния

Фокусы на ОХ

которых до 2-х данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина

F ( c;0) ; F (c; 0)

x2

y2

1

постоянная, обозначаемая 2a.

1

2

a2

b2

Расстояние между фокусами:

F1F2

2c

Характеристики гиперболы:

F M

F M

2a - гипербола

а – действительная полуось a ОА2

1

2

b – мнимая полуось b ОВ2

Каноническое уравнение гиперболы с центром О (0;0)

( a;0) - действительные вершины

2

2

2

2

A

−

= 1 или

−

= −1

1,2

2

2

2

2

B1,2 (0; b) - мнимые вершины

Характеристики эллипса:

Основной прямоугольник

x a; y b

а – действительная полуось, < всегда!

b – мнимая полуось b2 c2 a2

Асимптоты

y

b

с – расстояние от центра гиперболы до фокуса c2 a2 b2

a

x

Ԑ - эксцентриситет (степень вытянутости эллипса) Ԑ=с/а

Фокусы на ОY

2

2

A1,2

- действительные вершины B1,2 - мнимые вершины

F (0; c) ;

F (0; c)

−

= −1

2

2

Основной прямоугольник

1

2

Характеристики гиперболы:

Асимптоты гиперболы

а – действительная полуось a ОА2

b – мнимая полуось b ОВ2

A1,2 (0; a) - действительные вершины

B1,2 ( b;0) - мнимые вершины

Основной прямоугольник

x b; y a

Асимптоты

a

y

x

b

Парабола – множество точек, равноудаленных от данной

Ось ОХ

Ось ОХ

точки (фокуса) и от данной прямой, не проходящей через эту

y2

2 px, p 0

y2 2 px, p 0

точку (директриса)

FM

d)

Фокус

p

Фокус

p

Каноническое уравнение параболы с центром О(0;0)

F ( 2 ; 0)

F ( 2

; 0)

y

2

2 px p 0

Директриса

x

p

Директриса

x

p

2

2

Характеристики параболы:

p – параметр параболы, расстояние от фокуса до директрисы

Фокус параболы

Директриса

Вершина – равноудалена от фокуса и директрисы

Ось ОY

Ось симметрии параболы (перпендикулярна директрисе)

x2 2 py, p 0

Эксцентриситет параболы Ԑ=1

p

Фокус

F (0; 2 )

Ось ОY

Директриса

y

p

2

x2

2 py, p 0

Фокус

p

F (0; 2 )

Директриса

y

p

2