1-й семестр / Векторы

Название, обозначение

Определение

Свойства

Координатная форма

Геометрические приложения

1)

Угол и длина

· =

·

2)

·

(

)

=

1)

Косинус угла между векторами

+

+

Скалярное произведение

=

1

+

+

(

)

1

1

3)

̂

·

=

( · )

̂

=

двух векторов = число

cos( ) =

+

+

=

· = | | · | |cos( )

| |

(скаляр).

4)

2

2

2

· | |

≠ 0; · = 0

+

+

ЧИСЛО

1

2

= 1 2 + 1 2 + 1 2

=

1

2

1

2

Условие ортогональности

=

2

2

2

2

√2

+ 2

+ 2

· √2

+ 2

+ 2

· =

= ( ;)

= 1

+ 1

+ 1

1

1

1

2

2

2

(перпендикулярности) 2-х

2)

Длина вектора (модуль)

ненулевых векторов

| | = √ · = √ 2 + 2 + 2

Площадь

Векторное произведение

× = [; ] =

1)

,

пар = | × |

= | × |

двух векторов = вектор.

1)

× = − ×

{

}

=

+

+

1

=

2)

,, – правая тройка

2)

×

(

)

1

1

1

∆ =

|

|

× = [; ]

+

=

× + ×

2

×

3)

Длинна (модуль) вектора

[

]

[

]

3)

= 2+ 2+ 2

;

= ;

|| = | × | = пар

4)

≠

1

1 |

̂

0; × = 0

× = | 1

|

| ×

2

2

2

= | | · | | sin( )

Условие коллинеарности 2-х

| | =

S – площадь

| |

ненулевых векторов

параллелограмма,

образованного

и

1)

Объем

=

−(перестановка

любых двух векторов)

= 1+

2)

Если ,

– ненулевые,то

1 + 1

пар−да = | |

Смешенное произведение

,

1

трех векторов =число

> 0 – правая

= 2+ 2+ 2

тетр = пир =

пар−да

6

(скаляр)

тройка, < 0 –

=

+

+

левая тройка

3

3

3

1

(;; ) =

[; ] ·

1

1

1

=

3)

6

|(;; )|

(

)

, , - компланарны

2

; ; =

= |

2

2|

= 0

3

3

3

4)

Смешанное произведение

|(; ; )|

| | =

не меняется при

|[; ]|

циклической перестановке

векторов