3.7. Транспортная задача

3.7.1. Постановка транспортной задачи

Упражнение № 12. Кирпичные заводы снабжают своей продукции стройки области. На заводах имеется 300, 400, 700 и 480 единиц продукции соответственно: а потребности строек составляют 170, 350, 450, 610 и 300 единиц. Стоимости перевозки единицы продукции в ценовом выражении с завода на стройку приведены в табл. 16.

Таблица 16

Объемы производства на заводах, ед.	Объемы потребления на стройках, ед.
	170	350	450	610	300
300	16	18	12	19	24
400	14	25	8	23	18
700	19	23	21	17	25
480	11	18	22	15	9

Как следует спланировать перевозки продукции, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной?

Пусть X_ij – количество продукции, которое будет отправлено с i-го завода на j-ю стройку. Очевидно, что X_ij >= 0 и в силу ограничений на производство и потребление объемы перевозок будут удовлетворять следующим условиям:

для производства

X₁₁+X₁₂+X₁₃+X₁₄+X₁₅=300,

X₂₁+X₂₂+X₂₃+X₂₄+X₂₅=400,

X₃₁+X₃₂+X₃₃+X₃₄+X₃₅=700,

X₄₁+X₄₂+X₄₃+X₄₄+X₄₅=480,

для потребления

X₁₁+X₂₁+X₃₁+X₄₁=180,

X₁₂+X₂₂+X₃₂+X₄₂=350,

X₁₃+X₂₃+X₃₃+X₄₃=450,

X₁₄+X₂₄+X₃₄+X₄₄=600,

X₁₅+X₂₅+X₃₅+X₄₅=300.

Целевой функцией задачи является общая стоимость перевозок

С_t=16X₁₁+18X₁₂+12X₁₃+19X₁₄+24X₁₅+...+11X₄₁+18X₄₂+22X₄₃+15X₄₄+9X₄₅, которая должна быть минимизирована при указанных ограничениях.

Эта задача является специальной задачей линейного программирования, так как коэффициенты в ограничениях могут принимать значения только ноль или единица и каждая переменная входит только в два ограничения. Кроме того, сумма объемов перевозок по первым четырем ограничениям равна сумме объемов потребления по пяти последним (равенство спроса и предложения).

Все это обобщается на транспортную задачу с m пунктами производства и объемами производства a_i (i=1,...,m), и n пунктами потребления с объемами потребления b_j (j=1,...,n), при

. (50)

Если C_ij – стоимость транспортировки единицы продукции от i-го производителя j-му потребителю, то задача заключается в нахождении таких X_ij ≥0, которые удовлетворяют соотношениям

, i=1…m, (51)

, j=1…n, (52)

и минимизируют функцию

, (53)

Поскольку объемы производства и потребления совпадают, то имеется всего (m+n-1) независимых ограничений, и, следовательно, (m+n-1) базисных переменных в базисном допустимом решении.

3.7.2 Алгоритм решения транспортной задачи путем последовательного улучшения плана

При решении задачи удобно работать не с ограничениями в виде систем линейных уравнений, а с массивом данных в виде таблицы (см. табл. 16).

Расчетная процедура включает в себя несколько этапов.

1. Поиск первого базисного допустимого решения.

Поскольку задача состоит в минимизации целевой функции, для ускорения расчетов при определении первого базисного решения следует использовать правило "наиболее дешевая продукция перевозится в первую очередь". Минимальную стоимость имеет перевозка со второго завода на третью стройку и с учетом производства второго завода (400) и потребности третьей стройки (450) принимает; что X₂₃= 400.

Удаляем строку для второго завода (все, что на нем произведено, перевезено на третью стройку), а потребность третьей стройки уменьшаем на 400. И далее к измененному массиву повторяем процедуру определения объемов перевозок. После того, как последней переменной присвоено значение, сумма производства и потребления становится равной нулю, количество элементов, включенных в базисное решение, становится равным 8.

Обращаю внимание читателей, что в процессе формирования базисного решения после очередного назначения величины X_ij из массива удаляется либо одна строка (исчерпан объем производства завода), либо один столбец (удовлетворена потребность стройки). И только при назначении последнего (m+n-1 - го) элемента одновременно пропадают и строка и столбец. Только в этом случае будет обеспечено условие наличия (m+n–1) базисных элементов массива. Что делать, если в ходе формирования базисного допустимого решения на промежуточном этапе возникает необходимость удаления строки и столбца (оставшиеся объемы производства и потребления совпадают).

Нормальный ход решения задачи приведет к включению в базисный вариант меньше, чем (m+n–1) ненулевых переменных X_ij, что нарушает ограничения постановки задачи. Каков выход из этой ситуации? Их может быть два.

Первый из них заключается в том, что при формировании базисного варианта при появлении указанной выше ситуации следует отклониться от правила преимущества распределения наиболее дешевой продукции и принять другое решение, исключающее одновременное вычеркивание из массива строки и столбца на промежуточном этапе. Так как первых допустимых базисных решений может быть много, такой подход правомерен.

Второй возможный выход заключается во включении в базисный вариант любого X_ij, приравняв его нулю, для обеспечения требуемого количества базисных элементов. При дальнейшей реализации алгоритма решения задачи этот нулевой объем перевозок пропадет.

Вернемся к нашей задаче. В табл. 17 показан первый базисный вариант.

Таблица 17

Объемы производства на заводах, ед.	Объемы потребления на стройках, ед					Симплекс- множители по столбцам vj
	170	350	450	610	300
300	-	250	50	-	-	–3
400	-	-	400-	-	-	–7
700	-	100	-	600	-	2
480	170	-	-	10	300	0
Симплекс-множители по строкам ui	11	21	15	15	9

Стоимость перевозок, соответствующая базисному варианту, составляет 25520 единиц. Далее покажем, каким образом можно снизить величину стоимости.

2. Оценка возможности улучшения плана перевозок

Возможность минимизации стоимости перевозок лежит в использовании так называемых симплекс-множителей (u множители по строкам и v множители по столбцам). Теория линейного программирования строго доказывает, что

, (54)

из которого следует, что для занятых элементов массива справедливо соотношение C_ij–u_i–v_j=0, и следовательно, можно определить u_i и v_j. Имеем m неизвестных симплекс-множителей u_i и n неизвестных v_j. А занятых элементов массива всего (m+n–1). Из этой ситуации можно выйти, приняв один из симплекс-множителей равным нулю и решив систему уравнений относительно других симплекс-множителей. Удобнее (но не обязательно) приравнивать нулю тот множитель, для которого либо в строке, либо в столбце имеется максимальное количество занятых элементов массива.

Для рассматриваемого нами примера примем, что u₄=0. Тогда из выражений:

C₄₁–u₄–v₁=0;

C₄₄–u₄–v₄=0;

C₄₅–u₄–v₅=0.

имеем v₁=11, v₄=15, v₅=9.

И далее из уравнений:

C₃₄–u₃–v₄=0 u₃=2;

C₃₂–u₃–v₂=0 v₂=21;

C₁₂–u₁–v₂=0 u₁= –3;

C₁₃–u₁–v₃=0 v₃=15;

C₂₃–u₂–v₃=0 u₂= –7.

Обычно значения симплекс-множителей указываются в скобках против или ниже соответствующих строк и столбцов массива.

После определения симплекс-множителей для небазисных (не занятых) элементов массива рассчитывается дополнительная величина

C_ij^’=C_ij–u_i–v_j (55)

Если величина C_ij^’ для какого-либо незанятого элемента массива отрицательна, то включение данного элемента в базисный вариант приведет к уменьшению целевой функции. Если величина C_ij^’равна нулю, то включение данного элемента в базисный вариант не приведен к изменению целевой функции; и в случае, если C_ij^’ больше нуля, то включение данного элемента в базисный вариант будет увеличивать целевую функцию.

Конечно же, нас интересует только первый вариант значений C_ij^’. Ниже показан расчет значений C_ij^’ для незанятых элементов массива нашего упражнения.

C₁₁=C₁₁–u₁–v₁=16 – 11 – (–3)=8;

C₁₄=C₁₄–u₁–v₄=19 – 15 – (–3)=7;

C₁₅=C₁₅–u₁–v₅=24 – 9 – (–3)=18;

C₂₁=C₂₁–u₂–v₁=14 – 11– (–7)=10;

C₂₂=C₂₂–u₂–v₂=25 – 21– (–7)=11;

C₂₄=C₂₄–u₂–v₄=23 – 15– (–7)=15;

C₂₅=C₂₅–u₂–v₅=18 – 9– (–7)=16;

C₃₁=C₃₁–u₃–v₁=19 – 11 – 2=6;

C₃₃=C₃₃–u₃–v₃=21 – 15 – 2=4;

C₃₅=C₃₅–u₃–v₅=25 – 9 – 0=14;

C₄₂=C₄₂–u₄–v₂=18 – 21 – 0= – 3;

C₄₃=C₄₃–u₄–v₃=22 – 15 – 0=7.

Таким образом, только включение X₄₂ в базисный вариант может привести к снижению стоимости перевозок.

Ясно, что для нашей задачи увеличение X₄₂ на единицу будет уменьшать целевую функцию на 18. Но как определить максимальный объем X₄₂, который бы не нарушил баланса производства и потребления.

Если мы увеличиваем X₄₂ на величину W, то строка 4 и столбец 2 должны соответственно уменьшиться на такую же величину. Таким образом, анализ возможности включения X₄₂ в базисный вариант заключается в поиске такой замкнутой ломаной линии, во всех узлах которой находятся занятые элементы массива кроме узла с координатами (4,2). Простейшая фигура – прямоугольник. Для нашего случая это прямоугольник указан на рис. 12.

Рис. 12. Схема варианта изменения объемов перевозок

В общем случае это может быть сложная ломаная линия. Поиск этой ломаной можно проводить следующим образом. В допустимом базисном варианте отметим желательный для включения элемент массива, как уже включенный в базис. После этого из матрицы последовательно удаляются строки и столбцы, в которых имеется только один занятый элемент (обращаю внимание, что после очередного удаления ситуация в матрице будет изменяться). По окончании этого циклического процесса в матрице останутся только те элементы, которые будут принадлежать замкнутой ломаной линии.

Итак, мы определили возможность включения элемента X₄₂ в базисный вариант. Для баланса производства и потребления мы вынуждены изменять объемы перевозок в занятых элементах массива на величину W, как это показано на рис. 12. Максимальная величина W не может быть больше 10, так как в противном случае значение X₄₄ станет отрицательным. Таким образом, максимальная величина W, на которую изменяются объемы перевозок, будет равна минимальному объему перевозок тех элементов массива, из которых производится вычитание W. При этом один из ранее занятых элементов массива (в нашем случае X₄₄) становится равным нулю, а количество занятых элементов массива в базисном варианте первого приближения останется равным m+n–1, то есть 8. Новый базисный вариант приведен в табл. 18.

Таблица 18

Объемы производства на заводах, ед.	Объемы потребления на стройках, ед.					Симплекс- множители по столбцам vj
	170	350	450	610	300
300	(+5)	250	50	(+7)	(+15)	0
400	(+7)	(+11)	400	(+15)	(+13)	–4
700	(+3)	90	(+4)	610	(+11)	5
480	170	10	(+10)	(+3)	300	0
Симплекс-множители по строкам, ui	11	18	12	12	9

Полная стоимость, соответствующая этому варианту приближения составляет 25490, что меньше, чем в первом базисном варианте.

Далее расчетная процедура повторяется до тех пор, пока все значения C_ij’ небазисных элементов массива не будут больше нуля. Этот вариант распределения объемов перевозок продукции будет иметь минимальную стоимость, то есть будет оптимальным вариантом распределения.

В рассматриваемом упражнении величины симплекс-множителей на втором шаге приведены в табл. 18, значения C_ij’ приведены в соответствующих элементах матрицы. Ясно видно, что дальнейшее снижение стоимости перевозок невозможно, то есть вариант распределения объемов перевозок (табл. 18) является оптимальным с точки зрения минимальной стоимости.

В некоторых случаях при реализации алгоритма последовательного улучшения плана возникает ситуация, когда включение желательного элемента матрицы в базисный вариант невозможно. В этом случае единственно возможной ситуацией получить оптимальное решение является изменение порядка расположения поставщиков или потребителей на стадии формулировки исходных данных.

ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ ПОСОБИЯ

Задача № 1. Средние значения прочности одинаковы в обеих сериях и равны 20,0 МПа. Коэффициенты вариации соответственно равны 4,40 и 12,0 %. Ошибка определения прочности во второй серии выше.

Задача № 2. V_p1=4,39 %; V_p2=5,46 %.

Задача № 3.

Число повторов	Vp, %	Доверительная ошибка
		абсолютное значение	% от среднего
3	1,14	26,2	4,3
6	0,90	14,3	2,3
9	0,74	10,5	1,7
12	0,72	9,8	1,6

Задача № 4.

№	Rср, МПа	Wn, МПа	SRi	Vp,%	№	Rср, МПа	Wn, МПа	SRi	Vp,%
1	20,9	4,2	2,6	12,0	6	22,7	5,8	3,4	16,4
2	18,6	2,2	1,3	7,0	7	21,3	4,3	2,5	11,7
3	22,4	4,1	2,4	10,7	8	22,3	3,6	2,1	9,4
4	23,6	3,5	2,1	8,9	9	21,2	6,2	3,7	17,5
5	21.6	1,8	1,1	5,1	10	20,3	5,1	3,0	14,8

Среднее значение V_p по 10 сериям равно 11,4 %.

Задача № 5.

При n=8 значение R=40,83; S_(Ri)=4,05; R_расч=(9,23/4,05)=2,28

При q=0,95 R_max=2,17: результат 31,6 – грубая ошибка

При q=0,99 R_max=2,37: результат 31,6 – не является грубой ошибкой.

Задача № 6.

Число повторов	o, кг/м3	So, кг/м3	Rрасч	Rmax	Наличие грубой ошибки
3	437,3	35,23	1,15	1,41	Нет
6	436,2	22,36	1,78	2,20	Нет
9	435,9	18,07	2,33	2,24	Да
12	435,1	16,56	2,58	2,37	Да

Задача № 8. Средние значения прочности по сериям 24,0; 28,4. S²_R1=2,40; S²_R2=0,71; F_расч=3,38; F_т=6,3 – дисперсии однородны. T=3,93.

С вероятностью не выше 0.99 вывод об увеличении прочности бетона при введении полифункциональной добавки обоснован.

Задача № 9.

Ошибка, % от среднего значения	Вероятность
	0,85	0,90	0,95
4	6	7	более 10
5	4	5	6
6	5	5	6

Задача № 10.2. Задача носит экстремальный характер.

Задача № 11.Число состояний первого объекта 2⁶=64; второго объекта 4³=64. Сложность объектов одинакова.

Задача № 12. Невозможно, так как между температурой и давлением существует нелинейная связь.

Задача № 13. X₁^н = 75  С, X₂^н = 7 часов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Банди, Б. Основы линейного программирования / Б. Банди. Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1989. –176 с.

2. Вознесенский, В.А. Численные методы решения строительно-технологических задач на ЭВМ: учебник / В.А. Вознесенский, Т.В. Ляшенко, Б.Л. Огарков; Под ред. В.А.Вознесенского. – Киев.: Выща школа, 1989. –328 с.

3. Грачев, Ю.П. Математические методы планирования экспериментов / Ю.П.Грачев. – М.: Пищевая промышленность, 1979. – 200 с.

4. Румшиский, Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента / Л.З. Румшиский.–М.: Наука, 1971. –192 с.

5. Дэниел, К. Применение статистики в промышленном эксперименте /К.Даниэл; пер. с англ. – М.: Изд-во Мир, 1979. – 294 с.

6. Джонсон, Н. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке: Методы планирования эксперимента / Н. Джонсон, Ф. Лион; пер. с англ. – М.: Мир,1981 – 520 с.

7. Таблицы планов эксперимента для факторных и полиномиальных моделей: Справочник. /под ред. В.В. Налимова. – М.: Металлургия, 1982. – 752 с.