2.18. Построение математических моделей планов 2-го и выше порядков
Полный факторный эксперимент рекомендуется использовать при построении линейных моделей, которые в реальных технологических задачах встречается нечасто. Для моделей высокого порядка следует использовать ненасыщенные планы 2-го и более порядка, параметры которых приводятся, например, в [7], позволяющие получать адекватные модели полиномов с общей формулой
.
(27)
На практике при работе с задачами в области строительного материаловедения удачно используются ненасыщенные планы Хартли на гиперкубе второго и третьего порядков, план- матрицы которых приведены в табл. 7, 8.
Таблица 7
-
№
п/п
Факторы план-матрицы эксперимента
Х1
Х2
1
–1
–1
2
+1
+1
3
–1
0
4
+1
0
5
0
–1
6
0
+1
7
0
0
8
–1
+1
9
+1
–1
Все этапы проведения эксперимента соответствуют полному факторному эксперименту.
Расчет коэффициентов математической модели и построении ее графического образа проводится при использовании специального программного обеспечения, основанного на использовании матричного исчисления.
Рассмотрим пример построения и анализа математической модели на примере упражнения 6.
Упражнение 6. Разработать комплексную противоморозную добавку, обеспечивающую заданные параметры бетонной смеси и бетона в условиях твердения при температуре минус 15 оС:
удобоукладываемость бетонной смеси должна быть не менее 15 см;
живучесть бетонной смеси должна быть не менее 1 часа с момента изготовления;
прочность бетона через 8 часов твердения должна быть не менее 0,8 МПа;
прочность бетона через 28 суток твердения должна быть не менее 25 МПа.
Таблица 8
-
№
п/п
Факторы план- матрицы эксперимента
Х1
Х2
Х3
1
–1
–1
+1
2
+1
–1
–1
3
–1
+1
–1
4
+1
+1
+1
5
–1
0
0
6
+1
0
0
7
0
–1
0
8
0
+1
0
9
0
0
–1
10
0
0
+1
11
0
0
0
12
–1
–1
+1
13
+1
–1
+1
14
–1
+1
–1
15
+1
+1
–1
Предварительно проведенные исследования определили состав комплексной добавки, который должен был в себя включать противоморозную добавку карбоната калия K2CO3 (Х1) и пластифицирующую – лигносульфонат технический ЛСТ (Х2).
Осадка конуса после приготовления бетонной смеси для всех составов бетона составляла 15 +1 см.
Матрица планирования и результаты работы приведены в табл. 9.
Таблица 9
№ п/п |
Х1 |
Х2 |
ОК, см, через 1 час |
Rсж8 часов, МПа |
Rсж28 сут, МПа |
||
Код |
Физ. значение, % от Ц |
Код |
Физ. значение, % от Ц |
||||
1 |
–1 |
2 |
–1 |
0,6 |
0 |
0,2 |
9,7 |
2 |
+1 |
10 |
+1 |
1,8 |
18 |
0,8 |
25,4 |
3 |
–1 |
2 |
0 |
1,2 |
14 |
0,1 |
37,5 |
4 |
+1 |
10 |
0 |
1,2 |
15 |
1,8 |
24,4 |
5 |
0 |
6 |
–1 |
0,6 |
0 |
0,8 |
14,4 |
6 |
0 |
6 |
+1 |
1,8 |
15 |
1,3 |
15,6 |
7 |
0 |
6 |
0 |
1,2 |
13 |
0,8 |
15,7 |
8 |
–1 |
2 |
+1 |
1,8 |
12 |
0,4 |
2,0 |
9 |
+1 |
10 |
–1 |
0,6 |
0 |
1,4 |
37,5 |
Примечание. В таблице приведены средние значения контролируемых параметров.
При обработке результатов эксперимента были получены полиномы второй степени, коэффициенты которых приведены в табл. 10.
Таблица 10
-
Нормируемый параметр
Коэффициенты математической модели
В0
В1
В2
В11
В12
В22
Осадка конуса, см, через час после приготовления
13,3
1,11
7,39
0,56
1,58
−6,28
Прочность бетона на сжатие, МПа, через 8 часов твердения
0,97
0,49
0,03
−0,20
−0,20
−0,05
Прочность бетона на сжатие, МПа, через 28 суток твердения
20,9
6,56
−2,87
7,55
−0,73
−8,27
Получение конечного результата – состава комплексной добавки, базируется на анализе полученных математических моделей, а точнее на анализе их графических образов, приведенных на рис. 6.
По каждому варьируемому фактору определяются подобласти параметра оптимизации, в которых выполняются граничные условия задачи. Наложение подобластей друг на друга позволяет выделить подобласть, в которой выполняются все граничные условия.
В нашем случае это подобласть, ограниченная точками A, B, C, D.
Конечным итогом данной работы является экспериментальное подтверждение выбранного состава комплексной противоморозной добавки на практике.
3. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ