5. Выбор математической модели

В решении задач оптимизации при реализации шагового принципа главное требование, предъявляемое к модели – способность предсказывать с требуемой точностью направление градиента оптимизации (при этом точность предсказания не должна зависеть от направления градиента). Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение параметра оптимизации не должно отличаться от фактического больше, чем на некоторую заранее заданную величину. Модель, которая удовлетворяет этому требованию, носит название АДЕКВАТНОЙ, а проверка выполнения этого требования – проверкой адекватности модели. Если несколько моделей удовлетворяют этому требованию, необходимо выбирать самую простую. Примем априори, что в математическом планировании эксперимента предпочтение отдается степенным рядам, а точнее их отрезкам – алгебраическим полиномам:

• первой степени Y= b₀+b₁ X₁ + b₂ X₂;

• второй степени Y= b₀+b₁ X₁ + b₂ X₂+b₁₁X₁² +b₁₂X₁X₂+b₂₂X₂² и т.д.

Таким образом, мы представили неизвестную нам функцию отклика полиномом: аппроксимировали неизвестную функцию. Но полиномы бывают разных степеней. Какую взять в качестве модели? При решении экстремальных задач на первом шаге следует брать полином первой степени: с одной стороны он содержит информацию о направлении градиента, с другой – имеет минимальное количество коэффициентов. Возникает вопрос, будет ли эта модель адекватна? Ответ зависит от объекта исследования. Всегда можно ограничить подобласть факторного пространства, на котором линейная модель удовлетворительно описывает любой, даже нелинейный процесс (пример с малым участком логарифмической зависимости, который легко описывается линейной зависимостью).

Возникает вопрос: каким образом определить границы подобласти, где линейная модель будет адекватна?

Размер области заранее неизвестен. Но так как адекватность проверяется по результатам эксперимента, выбрав произвольную область, рано или поздно, изменяя ее границы, мы определим требуемую. И найдя эти границы, далее двинемся по градиенту. И так цикл повторяется до тех пор, пока градиент не перестанет давать эффект.

Это означает, что мы попадаем в область, близкую к оптимуму. В этом случае линейная модель уже исчерпала себя: либо мы добились поставленной цели, попав в точку оптимума, либо следует переходить к модели более высокого порядка.

Для задач построения интерполяционных моделей алгоритм решения другой. Нас в этом случае не интересует оптимум. Мы просто хотим предсказать результат с требуемой точностью во всех точках некоторой заранее заданной области. Здесь нет необходимости выбирать подобласть для параметра оптимизации. Необходимо последовательно увеличивать степень полинома до тех пор, пока модель не станет адекватной.

2.6. Полный факторный эксперимент

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называют такой эксперимент, при реализации которого определяется значение параметров оптимизации при всех возможных сочетаниях уровней варьирования факторов.

Планирование, проведение и обработка результатов ПФЭ состоит из следующих обязательных этапов:

• выбор области факторного пространства,

• кодирование факторов,

• составление план – матрицы эксперимента,

• рандомизация опытов,

• реализация плана эксперимента,

• проверка воспроизводимости опытов,

• расчет значений коэффициентов регрессии,

• оценка значимости коэффициентов регрессии.

• проверка адекватности модели,