Эргодичность стационарных процессов

Случайный процесс называется эргодическим, если усреднение по множеству с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равно усреднению по времени.

Следовательно, для эргодических процессов справедливы равенства:

, , .

(28)

Развернув выражения средних по множеству и по времени, получим

, , .

(29)

Эргодическое свойство случайного процесса имеет большое практическое значение. При исследовании таких процессов нет необходимости изучать большую совокупность реализаций, а достаточно лишь одной реализации, наблюдаемой в течение длительного промежутка времени. Например, статистические свойства флюктуационных шумов на выходе электронных усилителей можно изучать в течение достаточно продолжительного времени на одном усилителе, а затем результаты этого исследования распространить на все идентичные устройства.

Спектральная плотность случайного процесса

Для обобщения аппарата преобразований Фурье на случайные процессы необходимо использовать такую характеристику процесса, которая имеет неслучайный вид. Такой характеристикой является средняя мощность процесса.

Путем усреднения по ансамблю реализации получено следующее выражение для энергетической характеристики совокупности реализаций случайного процесса […]:

.

(30)

Это выражение представляет собой прямое преобразование Фурье для корреляционной функции. Обратное преобразование Фурье имеет вид

.

(31)

Преобразования (30) и (31), связывающие функции S() и К(), носят название преобразований Винера- Хинчина.

Таким образом, энергетический спектр стационарного эргодического процесса может быть определен двумя путями:

а) непосредственным наблюдением одной реализации x_k(t) и нахождением предела

;

(32)

б) нахождением преобразования Фурье корреляционной функции. Функция S() играет большую роль при исследовании преобразования случайных сигналов линейными системами.

Удобство спектральной плотности S() состоит и в том, что функция S() может существовать даже тогда, когда не существует преобразования Фурье от функции x_k(t).

Для выяснения физического смысла функции S() примем в (31)  = 0.

.

(33)

А так как К(0) выражает мощность случайного сигнала, то S() дает усредненную энергетическую картину распределения мощности сигнала по частотному спектру.

Широкополосные и узкополосные процессы

Из свойства преобразований Фурье следует, что при растяжении функции К() ее частотный спектр S() сжимается и, наоборот.

В связи с этим рассмотрим граничный и наиболее интересный случай S() = N₀ = const. Случайный процесс, имеющий равномерный на всех частотах спектр, называют белым шумом.

а) б)

Рис. 4.4

Функция спектральной плотности белого шума представлена на рис. 4.4, а. Корреляционная функция белого шума

,

(34)

поскольку интеграл

Таким образом, корреляционная функция белого шума выражается дельта-функцией.

Очевидно, белый шум х(t) характеризуется тем, что значения х(t) в любые два (даже сколь угодно близкие) моменты времени некоррелированы.

Такой случайный процесс иногда называют абсолютно случайным.

Необходимо подчеркнуть, что понятие «белый шум» основано на спектральном свойстве случайного процесса и совершенно не связано с законами распределения плотности вероятности. В частности, если белый шум имеет нормальный закон распределения, то его называют нормальным белым шумом.

Спектры реальных процессов практически ограничены полосой частот _э = _в - _н вследствие ограниченности полосы пропускания реальных систем.

Ограничение спектра влечет за собой появление корреляции, причем по мере сокращения полосы частот _э интервал корреляции увеличивается.

В случае, если для случайного процесса спектр непрерывен и сосредоточен около некоторой фиксированной частоты ₀, причем выполняется условие

,

(35)

то такой процесс называется узкополосным.