Стационарные случайные процессы

В информационных системах очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно. Эти процессы имеют вид непрерывных случайных колебаний около некоторого среднего значения, причем ни среднее значение, ни характер этих колебаний не претерпевают существенных изменений во времени. Такие случайные процессы называются стационарными.

Известно два понятия стационарности: стационарность в узком смысле и стационарность в широком смысле.

Под стационарными процессами в узком смысле понимаются случайные процессы, для которых функция распределения плотности вероятности (x₁, t₁, х₂, t₂, x_n,t_n) произвольного порядка п не меняется при любом сдвиге всей группы точек t₁, t₂, … ,t_n вдоль оси времени […], т. е. для любых п и 

Из приведенного определения следует, что для стационарных процессов:

а) одномерная функция распределения плотности вероятности не зависит от времени, т. е.

;

(16)

б) двумерная функция распределения плотности вероятности зависит только от разности времени t₂ - t₁ = , т. е.

.

(17)

На основании следствия (а) можно утверждать, что для стационарного процесса математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени.

Вследствие зависимости двумерной функции распределения только от разности времени , корреляционная функция стационарного процесса также зависит только от разности времени .

Таким образом, для стационарных процессов

m[x(t)] = m(x) D[x(t)] = D(x) Kxx(t1, t2) = Kxx()

(18)

На практике наиболее часто встречаются случайные процессы, для которых при выполнении условий (18) моменты высших порядков зависят от времени. Поэтому понятие стационарности оказалось целесообразным расширить, приняв за основу определения стационарности условия (18).

В связи с вышеизложенным введено понятие стационарности в широком смысле, согласно которому стационарными процессами являются такие случайные процессы, у которых математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности времени  = t₂ – t₁.

Случайные процессы, стационарные в узком смысле, будут всегда стационарными в широком смысле, но не наоборот.

Свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса

По мере увеличения временного интервала  зависимость между величинами х(t) и х(t + ) ослабевает. В пределе при ∞ эти величины становятся независимыми. Тогда с учетом того, что математическое ожидание произведения случайных независимых величин равно произведению математических ожиданий сомножителей и что для стационарного процесса математическое ожидание не зависит от времени, получим

.

(19)

Таким образом, при неограниченном увеличении аргумента  корреляционная функция стремится к квадрату математического ожидания случайного процесса.

Следовательно, при ∞ корреляционная функция равна мощности постоянной составляющей реализации случайного стационарного процесса.

При уменьшении временного интервала  зависимость между величинами х(t) и х(t + ) усиливается и в пределе при =0 получим

.

(20)

Таким образом, при  = 0 корреляционная функция равна начальному моменту второго порядка функции х(t).

Следовательно, дисперсия стационарного случайного процесса

.

(21)

В силу независимости функции распределения плотности вероятности стационарного случайного процесса от начала отсчета времени корреляционная функция является четной функцией , т. е.

.

(22)

Можно показать, что корреляционная функция по абсолютному значению максимальна при  = 0.

На практике часто вместо случайного процесса х(t) рассматривают его отклонение от математического ожидания х₀(t) = х(t) — m(t), называемое пульсациями или флюктуациями процесса (центрированным случайным процессом).

Корреляционная функция пульсаций стационарного случайного процесса равна

(23)

Из (3.30) следует, что математическое ожидание пульсаций равно нулю, а их дисперсия

.

(24)

а) б)

Рис. 4.3

Отношение

(25)

называется нормированной корреляционной функцией (коэффициентом корреляции) пульсаций случайного процесса (или случайного процесса с нулевым средним). Типичные кривые нормированной корреляционной функции пульсаций показаны на рис. 4.3.

Для чисто случайного стационарного процесса всегда можно указать значение интервала  = ₀, что при  > ₀ величины х(t) и х(t + ) можно считать практически независимыми, причем практическая независимость понимается в том смысле, что при  > ₀ абсолютная величина коэффициента корреляции остается меньше заданной величины

.

(26)

Величина  обычно принимается равной 0,05. Интервал ₀ называют временем корреляции случайного процесса. Время корреляции иногда определяется как половина ширины основания прямоугольника единичной высоты, площадь которого равна площади под графиком коэффициента корреляции (рис 4.3), т. е.

.

(27)