Лекция 5-6

Математические модели случайных сигналов

Случайные сигналы и их вероятностные характеристики

Сигналы, которые присутствуют в системах связи, носят случайный характер. Ситуация осложняется также тем, что все всякий сигнал при прохождении по каналу связи от передатчика к приемнику неизбежно подвергается воздействию помех и искажается. Однако, несмотря на то, что получатель сообщения не может знать заранее, каким будет принимаемый сигнал в какой-либо момент времени, мы все же располагаем методами анализа случайных сигналов. Для исследования прохождения сигналов через системы связи применяют статистические методы.

Процесс, описанием которого является случайная функция времени, называется случайным процессом. В литературе можно встретить термин «стохастический процесс» или «вероятностный процесс».

Наблюдаемый случайный процесс называется реализацией процесса.

Если было проведено (иногда виртуально) несколько наблюдений и измерений, то накопившийся набор реализаций называется ансамблем реализаций случайного процесса х(t).

Величина k-й реализации случайного процесса в определенный момент времени (например, t = t₁) называется выборкой случайного процесса x_k(t₁).

Совокупность значений выборок в определенный момент времени (например, t = t₁) образует случайную величину х(t₁).

Вероятность того, что некоторая случайная величина х в произвольный момент времени (обозначим его t₁) будет меньше некоторой величины а называется интегральной функцией распределения:

F(x, t1) = Р(х1 < а).

(1)

F(x, t₁) является неубывающей функцией х, принимающей значения от 0 до 1.

Вероятность того, что в определенный момент времени t = t₁ величина х находится в интервале между а и а + dа,

P(а ≤ x(t1) ≤ а+dа) = (x, t1)dx

(2)

где (х_, t₁) — одномерная плотность вероятности или одномерная функция распределения случайного процесса х(t).

Плотность вероятности (х, t₁) есть в общем случае функция времени, так как зависит от t₁, является частной производной от интегральной функции распределения

При любом законе распределения плотности вероятности справедливо равенство

,

(3)

называемое также условием нормировки.

_{Для более полной характеристики случайного процесса необходимо знать связь между вероятными значениями случайной функции при двух произвольных моментах времени t1 и t2. Эта связь выражается через двумерную плотность вероятности и формулируется следующим образом: вероятность нахождения любой из функций хk(t), входящих в совокупность функций х(t), в интервале (x1, х1 + dx1) в момент времени t1 и в интервале (х2, х2 + dx2) в момент времени t2}

,

(4)

где (x₁, t₁, x₂, t₂) — двумерная плотность вероятности или двумерная функция распределения случайного процесса х(t).

Рис.4.1

На рис. 4.1 приведена поверхность двумерного нормального закона распределения плотности вероятности для случайных величин с нулевым средним значением в моменты времени t₁, t₂.

Рассуждая аналогичным образом, можно ввести понятие о n-мерной (х₁, t₁, x₂, t₂, …, х_п, t_n) плотностях вероятности случайного процесса x(t).

Чем больше число п, тем точнее n-мерная функция распределения характеризует статистические свойства случайного процесса. Однако n-мерные функции распределения могут быть получены с помощью довольно сложной и трудоемкой обработки множества реализаций случайного процесса. Поэтому на практике чаще всего оперируют конечным числом числовых характеристик.

Числовые характеристики случайного процесса

В качестве числовых характеристик случайного процесса чаще всего применяются моментные функции. Простейшими моментными функциями, в основном используемыми для характеристики случайных процессов, являются моменты распределения первых двух порядков: математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса.

Математическое ожидание (или первый начальный момент одномерного закона распределения) выражается формулой

.

(5)

Физически математическое ожидание выражает среднее значение совокупности выборок случайного процесса (случайной величины х(t₁)) в определенный момент времени t₁.

Дисперсия (или второй центральный момент одномерного закона распределения) — это математическое ожидание квадрата отклонения величин х(t₁) от математического ожидания в определенный момент времени t₁, определяемая выражением

.

(6)

Дисперсия выражает меру разброса значений случайной величины x(t₁) около математического ожидания.

Поскольку дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, используют также среднеквадратическое отклонение, численно равное корню квадратному из дисперсии:

.

(7)

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое значение случайной величины приближенно характеризуют поведение случайного процесса в отдельные моменты времени, но совершенно не затрагивают связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени. Эту связь выражает корреляционная функция К_хх(t₁, t₂) (второй смешанный начальный момент), определяемая как среднее значение произведения значений случайной функции х(t) в моменты времени t₁ и t₂.

(8)

Связь между значениями двух случайных процессов х(t₁) и у(t₂) в моменты времени t₁ и t₂ соответственно выражает взаимная корреляционная функция К_xy(t₁, t₂), определяемая как среднее значение произведения х(t₁) у(t₂)

(9)

Иногда рассматривают нормированную автокорреляционную r_хх и взаимную корреляционную r_ху функции (коэффициенты корреляции), определяемые выражениями

	(10)
	(11)

Нормированные корреляционные функции удобны тем, что они не превосходят единицы.

Осредненные характеристики могут быть также получены путем обработки одной из реализаций случайного процесса на достаточно большом интервале времени.

Среднее по времени значение случайного процесса определяется выражением

,

(12)

где x_i(t) — реализация случайного процесса х(t); Т — время наблюдения процесса.

По аналогии пользуются понятием среднего по времени значения от функции х², определяемым соответственно выражениями

(13)

Если предположить, что х(t) представляет изменение напряжения (или тока), то физически (12) равно мощности постоянной составляющей, рассеиваемой на сопротивлении в 1 Ом. В связи с этим считают, что среднее по времени выражает мощность постоянной составляющей реализации случайного процесса х_i(t).

По аналогии можно считать, что (13) выражает полную среднюю мощность «случайной» составляющей процесса х(t).

Если случайный сигнал является дискретным, то числовые характеристики определяются выражениями:

(14)

где Р_к — априорная вероятность случайной величины х_k; п — число значений случайной величины х.

На рис. 4.2 приведен график наиболее часто встречающегося на практике нормального закона распределения плотности вероятности случайной величины х.

Рис. 4.2

Математическое описание этого закона имеет вид

,

(15)

где m_x и  — математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

Нормальная кривая расположена над осью x, т. е. при всех значениях x функция f(x) всегда положительна.

Ось x является горизонтальной асимптотой графика, т. к.

При x = m_x функция f(x) имеет максимум равный

Изменение величины параметра m_x не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси x: вправо, если m_x возрастает, и влево, если m_x убывает,

при m_x=0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат.