4 Разработка аналитической модели

4.1 Математическое описание аналитической модели

Рассмотрим заданную систему массового обслуживания – систему ПРО с отказами и частичной взаимопомощью между каналами (при рассмотрении ПРО взаимопомощь между каналами состоит в том, что одну цель могут одновременно обстреливать каналов, при этом эффективная скорострельность увеличивается в раз).

На вход n-канальной системы массового обслуживания поступает простейший поток заявок с плотностью . Плотность простейшего потока обслуживаний каждого канала . Если поступившая на обслуживание заявка застает все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одновременно каналами ( ). При этом поток обслуживаний одной заявки будет иметь интенсивность .

Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе одну заявку, то при вновь прибывшая заявка будет принята к обслуживанию и будет обслуживаться одновременно каналами.

Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе заявок ( ), при этом , то поступившая заявка будет обслуживаться каналами с общей производительностью . Если вновь поступившая заявка застает в системе заявок и при этом выполняются совместно два неравенства и , то заявка будет принята на обслуживание. В этом случае заявки, находившиеся на обслуживании будут обслуживаться каналами, а вновь пришедшая заявка – меньшим, чем , числом каналов, но в обслуживании будут заняты все n каналов. Если вновь поступившая заявка застает в системе все каналы занятыми, то она получает отказ и не обслуживается. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки «терпеливые»).

Исходные данные для имитационного моделирования:

– интенсивность простейшего входящего потока заявок;

– Интенсивность потока обслуживания заявок;

– Интенсивность простейшего потока освобождения канала;

- параметр нетерпения заявки;

– число каналов обслуживания;

Такой системе соответствует следующий граф (входящий поток и поток обслуживания – Пуассоновские, режим работы – стационарный).

За состояние системы принимается число заявок, находящихся в данный момент на обслуживании в системе [1]:

Рис. 4.1 Граф состояний системы ПРО с отказами и частичной взаимопомощью между каналами

. Если в системе заявок, то заявка обслуживается приборами, а заявка – приборами.

Можно записать систему алгебраических уравнений в общем виде [1]:

(4.1)

– вероятность того, что система находится в состоянии .

Последнее уравнение системы представляет собой условие нормировки, так как мы имеем дело с полной группой событий. Решив данную систему алгебраических уравнений можно найти вероятности нахождения системы в каждом из состояний.

Заметим, что граф состояний системы до состояния , с точностью до обозначений параметров потоков совпадает с графом состояний классической системы массового обслуживания с отказами.