3 Разработка имитационной модели
3.1 Математическое описание
Имитационное моделирование основано на применении метода Монте-Карло, в котором используется искусственная реализация вероятностных законов. С помощью генератора псевдослучайных чисел вырабатываются независимые реализации случайного процесса, а интересующие нас характеристики находятся путем усреднения по всему множеству реализаций.
Исходные данные для имитационного моделирования:
Дисциплина обслуживания – СМО с отказами и частичной взаимопомощью между каналами.
– число каналов обслуживания;
– интенсивность простейшего входящего потока заявок;
– Интенсивность
потока обслуживания заявок;
– Интенсивность
простейшего потока освобождения канала;
-
параметр нетерпения заявки;
Интенсивности поступления и обслуживания заявок распределены по пуассоновскому закону.
При разработке
имитационной модели для реализации
входного потока заявок и потока
обслуживания из равномерной случайной
величины, генерируемой ЭВМ, необходимо
получить случайную величину, распределенную
по пуассоновскому закону. Пусть
– случайная величина, равномерно
распределенная в интервале
.
Для пуассоновского распределения примем
[1]
(3.1)
Осуществив интегрирование, получим [1]:
(3.2)
Решая это уравнение
относительно
,
имеем [1]:
. (3.3)
Случайное число
распределено равномерно в интервале
,
следовательно
также случайная величина, принадлежащая
интервалу
.
Поэтому
и
распределены одинаково. Отсюда имеем
[1]:
. (3.4)
Определяемая этим соотношением случайная величина имеет пуассоновский закон распределения. Таким образом, интервал времени между заявками определяется следующим образом [1]:
, (3.5)
где
– случайная величина в диапазоне
,
генерируемая ЭВМ.
Требуемые характеристики СМО можно определить следующим образом:
1) Вероятность обслуживания:
,
(3.6)
где
- количество обслуженных заявок;
- общее количество заявок, пришедших в
систему за время моделирования.
2) Вероятность занятости отдельного канала:
, (3.7)
3) Среднее число занятых каналов:
, (3.8)
где
- интенсивность простейшего входящего
потока заявок,
- интенсивность потока обслуживания
заявок.
Таким образом, используя имитационную модель можно получить требуемые параметры.
Имитационное моделирование включает следующие этапы [1]:
1. Построение входного потока заявок. Время появления заявки определяется следующим образом:
, (3.9)
где
– модельное время.
2. Обслуживание заявок. Для каждой заявки, стоящей на обслуживании, проверяется, не истекло ли время ее обслуживания. Если время истекло, то заявка считается обслуженной и занятые ей приборы освобождаются.
3. Генерация новой заявки. Генерируется время обслуживания пришедшей заявки, т.к. оно распределено по пуассоновскому закону, то время обслуживания:
, (3.10)
где
– время обслуживания пришедшей заявки.
Далее заявка ставится на обслуживание, здесь возможны два варианта:
1) в системе свободно
приборов и заявка обслуживается
одновременно
приборами. При этом заявка обслуживается
параллельно, интенсивность обслуживания
заявки увеличивается в
раз;
2) число свободных приборов меньше . Заявка становится на обслуживание и обслуживается параллельно оставшимся числом приборов.
При моделировании используем программу для расчета имитационной модели (листинг программы см. Приложении 1).