§2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Решение типовых задач

1. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8; вторым- 0,7. Определить: а) вероятность поражения мишени, если каждый из стрелков сделал по одному выстрелу; б) вероятность того, что в цель попадет только один из стрелков.

а) Пусть событие - попадание в цель первым стрелком, событие -попадание вторым стрелком. По условию . Мишень будет поражена, если в нее попадет хотя бы один стрелок. Поэтому

,

т.е.

.

б) Поражение цели только одним стрелком есть сумма несовместных событий , причем и , и - независимые события.

Таким образом,

.

Т.к. и - противоположные события, то

;

аналогично,

.

Подставляем:

. ▲

2. Буквенный замок имеет на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 6 секторов с различными буквами. Замок можно открыть только при определенном расположении букв относительно корпуса замка. Какова вероятность открыть замок, не зная его секрета?

Пусть событие состоит в том, что буква первого диска набрана верно, - второго, - третьего, - четвертого. Т.к. каждый диск содержит 6 букв, из которых только одна верная, то

.

Чтобы замок открылся, должны быть набраны верно все 4 буквы, т.е. должно произойти совместное наступление событий , , , . Значит, необходимо найти вероятность произведения этих событий . Т.к. события , , , - независимы, то

. ▲

3. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75; для второго- 0,8; для третьего- . Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

Пусть событие - попадание в цель первым стрелком, событие - попадание вторым стрелком, событие - третьим. По условию

.

Событие состоит в том, что все три стрелка одновременно попадут в цель. Так как события - независимы, то

. ▲

4. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

Обозначим событие - в цель попадет хотя бы один стрелок. Тогда по определению суммы событий . События - совместны. Здесь можно применить формулу (2.7), но она громоздка, поэтому найдем:

- вероятность промаха первого стрелка,

- вероятность промаха второго стрелка,

- вероятность промаха третьего стрелка.

События - независимы, поэтому - вероятность одновременного промаха всех трех стрелков - вычисляем по формуле (2.5):

.

Но событие, противоположное событию заключается в поражении цели хотя бы одним стрелком, следовательно, искомая вероятность

. ▲

5. Какова вероятность того, что наудачу написанная дробь: а) не сократится на 2; б) не сократится ни на 2, ни на 3?

а) Пусть имеем дробь , и событие состоит в том, что - четное число.

Тогда , т.к. возможных случаев два: - четное число и - нечетное. Если событие состоит в том, что - число четное, то .

Обозначим через событие, состоящее в том, что дробь сократится на 2, тогда есть произведение независимых событий и , поэтому

.

б) Аналогично найдем вероятность события , состоящего в том, что дробь сократится на 3:

.

Очевидно, что вероятность того, что дробь не сократится на 2, равна

,

а вероятность того, что она не сократится на 3, равна

.

Искомую вероятность того, что дробь не сократится ни на 2, ни на 3, найдем как вероятность произведения независимых событий и :

. ▲

6. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно шести. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

Пусть событие состоит в том, что ясная погода будет 1-го июля, - 2-го июля. Тогда событие означает, что ясная погода будет и 1-го, и 2-го июля.

Из условия следует, что , т.к. общее число ясных дней в июле равно 25. Очевидно, что вероятность события зависит от того, произошло событие или нет, т.е. была ли 1-го июля ясная погода. Если да, то

.

Поскольку события и - зависимые, то по теореме 2.1. имеем:

. ▲

7. Студент пришел на зачет, зная из 30-ти вопросов 24. Для сдачи зачета достаточно ответить на первый вопрос, или, в случае неудачи, на дополнительный вопрос. Какова вероятность сдачи зачета?

Пусть событие - успешный ответ студента на первый вопрос, событие - успешный ответ на второй вопрос, событие - успешная сдача зачета. Очевидно, что , где событие - получение зачета со второй попытки. События и - несовместны, поэтому

.

Легко рассчитать, что , а события и - зависимые, поэтому

.

Тогда

. ▲

8. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы, с вероятностями попадания соответственно равными 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

Пусть событие - попадание первой бомбы, - второй, - третьей, - четвертой. Тогда событие состоит в том, что мост будет разрушен (т.е. хотя бы одна бомба попадет на мост). Если решать эту задачу по теореме о вероятности суммы четырех совместных событий, то решение будет громоздким, поэтому найдем сначала вероятность события , состоящего в том, что ни одна из бомб не упадет на мост. Очевидно, что , причем события - независимы, поэтому . Таким образом, имеем:

;

;

;

.

Значит,

.

Следовательно,

. ▲

9. Из партии в 25 изделий, из которых 6 бракованных, выбирают одно за другим 3 изделия для проверки их качества. Найти вероятность того, что: а) среди выбранных изделий нет бракованных; б) одно бракованное; в) все бракованные.

Рассмотрим события: А - первое изделие годное; В - второе годное; С - третье годное.

а) Событие АВС означает, что все 3 выбранные изделия годные. Т.к. события А, В, С - зависимые, то

б) Среди трех выбранных деталей бракованная может появиться или первой, или второй, или третьей, т.е. событие D - среди выбранных деталей одна бракованная - можно представить как сумму несовместных событий:

.

Тогда

;

.

в) Событие состоит в том, что все три детали будут бракованные.

. ▲

10. На полигоне по цели произведено 100 залповых выстрелов из двух орудий. В результате стрельбы имело место 40 попаданий в цель из первого орудия, 48 попаданий из второго орудия и 20 совместных попаданий. Оценить, принимая частоты событий за их вероятности, зависимы или независимы события А и В, если событие А - попадание в цель первым орудием, а В - вторым орудием.

Признаком независимости двух событий является равенство их условных и безусловных вероятностей, т.е.

и .

Определим необходимые вероятности:

; ; .

Из теоремы 2.1. следует:

.

И так как , то события А и В - зависимые. ▲