Характерные времена в модели
Итак, задача, которую решают при построении
модели, определяет, в частности,
характерное время
и характерный пространственный масштаб
модели.
Определение
Переменными называют характеристики
объекта, которые меняются за времена
.
Определение
Параметрами называют характеристики
объекта, которые меняются за времена
Что же делать с переменными, которые
меняются за
?
На этот вопрос отвечает теорема
Тихонова.
Определение Быстрые переменные – переменные, меняющиеся за времена много меньшие, чем характерное время, рассматриваемое в модели - .
Определение
Медленные переменные – переменные,
меняющиеся за
.
Теорема Тихонова
Пусть дана модель с двумя переменными
:
Пусть характерные времена изменения
переменных:
для
и
для
,
причем
,
а
(т.е.
меняется много быстрее, чем интересующие
нас процессы).
Построим фазовое пространство (рис.
4-2). На
-изоклинах
скорость изменения одной из переменных
равна нулю. Вне
-изоклин
по условию
меняется много быстрее, чем
(
)
если начальное
состояние системы (изображающая точка
)
лежит вне изоклин, то эволюцию системы
можно условно разделить на две фазы:
Быстрое достижение -изоклины за
(
).
При этом
почти не успевает измениться;
достигает квазистационарного состояния
.Медленное движение вдоль -изоклины за
в сторону устойчивого ss. При этом для
любого
«мгновенно» устанавливается
квазистационарное значение
.
Рисунок 4-2. Фазовое пространство системы с иерархией времен
Возвращаемся к уравнениям.
означает, что вне изоклин
.
Определение
Малый параметр - мера отличия
масштабов времени изменения переменных:
(
).
Переобозначим:
,
.
Тогда исходная система уравнений примет
вид:
или
При этом, в отличие от
и
,
по порядку величины
.
Различие в характерных временах изменения
переменных выразилось в малом параметре
.
Определение Полная система уравнений – исходная система.
Определение Вырожденная система уравнений (здесь - основное уравнение) - подсистема уравнений, не содержащих малый параметр (т.е. с характерными временами изменения переменных порядка ).
Определение Присоединенная система уравнений – подсистема уравнений, содержащих малый параметр (т.е. уравнений для быстрых переменных).
Теорема
При выполнении ряда условий (единственность
решений, непрерывность функций
и т.д.)
решение полной системы
уравнений
стремится
к решению системы
при
.
Конец
теоремы
Это означает, что эволюцию системы допустимо разбить на два этапа (см. рис.4-2) в меру малости :
Достижение изоклины идет не при строго неизменных медленных переменных, а под углом
;Движение вдоль изоклины идет не строго по ней, а в ее -полуокресности – с той стороны, куда направлено векторное поле скорости эволюции системы в этой области фазового пространства.
Рисунок 4-3. Фазовое пространство системы с иерархией времен
Применение
В физ.химии и химической кинетике есть ряд методов, разработанных независимо от теоремы Тихонова, но фактически являющихся ее частными следствиями, например:
Модель Михаэлиса–Ментен;
Метод квазистационарных концентраций Боденштейна-Семенова.