3. Характеристика системы

Определение свойств объекта, интересующих нас в данном случае (например: в задаче о расширении газа важно знать p, V, T, теплоемкость, но неважны положения отдельных молекул газа).

Введение меры - количественное выражение этих свойств (любое свойство любого объекта доступно для объективного исследования только если его можно выразить количественно).

Определение Переменные - свойства объекта, меняющиеся за период наблюдения.

Определение Параметры - свойства объекта, не меняющиеся за период наблюдения или меняющиеся пренебрежимо мало.

Предварительные обозначения

- множество переменных системы,

- множество параметров системы.

и однозначно описывают объект (в рамках используемой модели / подхода).

Определение Состоянием объекта назовем полную (в рамках используемого подхода) совокупность его свойств ( и ).

Состояние объекта меняется во времени, и задача max для исследователя – понять причины этой эволюции и предсказать ее.

4. Эволюция системы

Для предсказания эволюции системы строят математические модели. Конечная цель любой модели – получить в явном виде зависимость при заданном . Модель может строиться с использованием различных математических подходов.

Нас будут интересовать модели с использованием дифференциальных уравнений – уравнений эволюции системы.

Предварительное обозначение Общий вид уравнений эволюции для произвольной системы:

Здесь – переменные системы, - параметры, – вектор пространственных координат, - время

Модели (вне зависимости от математического подхода) могут быть условно двух типов:

• Описательные – вид получают «подгонкой» под эмпирические результаты

• Теоретические - вид - логическое следствие неких общих базовых принципов

Механика

Механический подход предполагает распознавание «истинной» природы изменения системы – законов взаимодействия «элементарных» частиц материи.

Рассмотрим механическую систему из N частиц (материальных точек).

Переменные: (координаты частиц), (импульсы), (если импульсы и координаты даны в векторной форме), или (если импульсы и координаты даны по компонентам).

Законы эволюции системы – законы Ньютона:

(Для простоты оставлены только гравитационные взаимодействия).

Интегрируя эти уравнения и зная начальные условия – , можно вычислить , т.е. как прошлое, так и будущее системы. Т.о. эволюция механической системы полностью детерминирована и однозначно определена как в прошлом, так и в будущем.

Кинетика

Почти все реальные системы состоят из огромного числа частиц (12 г углерода содержат атомов  в такой системе парных взаимодействий ). Очевидно, поиск индивидуальных траекторий частиц невозможен (даже в классическом - неквантовом – подходе). Поэтому для описания реальных систем приходится вводить усредненные статистические характеристики системы:

Переменные – (концентрация различных веществ) и т.д.

Параметры – теплоемкость, химическое сродство, константы скорости реакций, константы диффузии и т.д.

Уравнения эволюции для такой системы основаны не на фундаментальных физических взаимодействиях, а на эмпирических или статистических закономерностях:

• Закон действующих масс

• Уравнение теплопроводности

• Уравнение диффузии

и т.д.

Термодинамика

В рамках термодинамического подхода систему также описывают с помощью интегральных и статистических величин. Принципиальное отличие от кинетического подхода – в использовании т.н. функций состояния, которые позволяют, несмотря на статистический подход, пользоваться фундаментальными физическими принципами.

Определение Функцией состояния системы назовем любую функцию, заданную на множестве возможных состояний системы и однозначно определяемую для любого состояния ( функция состояния зависит только от текущего состояния системы, но не от ее истории).

Функции состояния

Энергия E – способность системы совершать работу. Одна из наиболее фундаментальных физических величин. Не только однозначно определяется для любого состояния системы, но и в значительной степени определяет ее эволюцию.

Примеры:

• Классическая механика: (H – гамильтониан – оператор полной энергии)

• Квантовая механика: ( – гамильтониан, – волновая функция)

Первое начало термодинамики: – закон сохранения энергии

Энтропия S Мы рассмотрим только статистическое (больцмановское) определение энтропии:

Здесь – константа Больцмана, – число микросостояний, соответствующих данному макросостоянию системы).

Определение Микросостояние системы – состояние системы, полностью определенное на языке механики, т.е. задаваемое всей совокупностью механических переменных (импульсами и координатами всех частиц).

Для реальной системы невозможно определить ее микросостояние (в квантовой механике это вообще строго запрещено).

Определение Макросостояние системы – состояние системы, задаваемое совокупностью используемых макроскопических (статистических) переменных ( и т.д.).

Любое макросостояние может быть реализовано большим количеством микросостояний.

В статистическом смысле S – «вероятность» данного макросостояния.

Второе начало термодинамики: (для изолированной системы) Система не может спонтанно перейти в менее вероятное макросостояние без взаимодействия с окружающей средой.