27) Теорема Ферма.

Если функция у = f (х), определенная в интервале (а ; b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f ′(с), то f ′(с) = 0.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Ролля. Если функция у = f (х), непрерывная на отрезке [а ; b] и дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.

Геометрически эта теорема означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х) между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ

Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.

29) Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Связь с первой и второй производной

большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Необх.усл.возр,уб ф-ии:Если ф-я возр(уб)на промеж. Х то её произв не отриц(не полож) на эт промеж

Т.х0 наз т мах ф-ии если сущ такая окрестн в т х0 что для люб х их эт окрестн f(x) < f(x0). И тоже самое для мин

В 1 рис есть касат в этих т и произ =0 ,во 2 нет произв

В т экстремума произв= либо 0 либо не сущ

Если ф-я деффер-ма то в окрестн т экстремума выполн теорема Ферма.Значит по т Ферма произв в т экстремума=0

В точках где произ=0 или не сущ- крит т

Достаточн условие сущ т экстремума:если при перех через т х0 произв ф-ии меняет знак то х0-т экстремума (если знак с + на – то мах и наоб)

Если в т х0 1я произв дважды дифференцируемой ф-ии =0 а вторая произ меньше 0 то это т макс и наоб 30) Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.

У=ф от х назыв выпукл на промеж х если её гафик на этом промежутке лежит ниже касат-й проведенной к нему в любой точке промеж.

Вогнута если график ф-ии на эт пром леж выше касат проведен к точке эт промеж

дост.усл выпукл,вогн ф-ии:Если 2я произв дважды диффер-й фии положит на промеж х то ф-я вогнутая

Если 2я произв отриц на пром х то ф-я выпукла на эт пром

Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0 Î (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет . Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x0.

Таким образом,

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Предположим, что x>x0. Тогда x0<c1<c<x, следовательно, (x – x0) > 0 и (c – x0) > 0. Поэтому .

Пусть x<x0, следовательно, x < c < c1 < x0 и (x – x0) < 0, (c – x0) < 0. Поэтому вновь .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Точка в котор выпуклость фии смен вогнут или наоб наз т перегиба

Усл сущ т перег :если 2я произв дважды диф фии в т х0=0 и проходя через эту т меняет знак то х0 т перег