10) Линейное пространство. Определение и примеры.

Линейное пространство – множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения веркторов и умножения вектора на число и удовлетворяющее 8-ми свойствам (аксиомам).

1. x+y=y+x – коммутативное св-во

2. (х+у)+z=x+(y+z) – ассоциативное св-во

3. α(βx)=(αβ)x – ассоциативное св-во относ. множителя

4. α(х+у)=αx+αy – дистрибутивное св-во относ. сумм. Вект.

5. (α+β)x=αx+βx – дистрибутивное св-во относ. сумм. Множ.

6. Сущ. Нулевой вект. 0=(0,…,0), т.ч. х+0=х при люб. Х

7. Для люб. Х сущ. Противоположный вект. (-х), т.ч. х+(-х)=0

8.1×х=х для любых х

11) Линейная зависимость и независимость векторов.

Векторы , ,…, векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁, λ₂,…, λ_m, не равные одновременно нулю, что λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_ma_m=0

Свойства:

1. Если среди векторов а₁, а₂,…, а_m имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

2.Если часть векторов а₁, а₂,…, а_m являются линейно зависимыми, то и все векторы – линейно зависимы.

12) Размерность и базис линейного пространства.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

(число n назыв. размерн-ю пространство и обознач. dim(R))

Базисом называется совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства.

13) Линейное пространство решений однородной слу.

14) Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.

Дано: М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂) Найти: M(x;y)

Опускаем перпендикуляры из т. M₁, M₂, M на оХ

На основании пропорц-ти отрезков прямых, пересеченных рядом ||, можно записать =

При выбранном располож. т. имеем: А₁А=х-х₁ и АА₂=х₂-х

отсюда → x= y=

Формулы площади треугольника:

S=

S = a·b·sin(λ)/2 S =

p=(a+b+c)/2 S= S = r·p S = a·b·c/4R

15) Виды уравнения прямой:

Уравнение прямой – соотношение (зависимость) между переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки линии.

y=kx+b – ур-е прямой с угловым коэф.

y-y₁=k(x-x₁) – ур-е прям, проход. через данную точку в данном направлении.

= - ур-е прям. проход через 2 точки

+ - ур-е прямой в отрезках

Ax+By+C=0 – общее ур-е прямой

16) Угол между прямыми. Условия их парал-ти и перп-ти

За угол φ между прям. 1 и 2 приним. тот угол, который отсчит-ся от прямой 1 против движ. час. стрелки до прям. 2

tg φ= - угол через угл. коэф. 2-х прямых

Условия перал-ти и перп-ти:

1) φ=0, т.е. прямые 1и 2 параллельны

tg φ=0, т.е. =

2) φ=π/2, т.е. прямые 1 и 2 перпендикулярны

ctg φ=0 ctg φ= → =0 →

17)Нормальное ур-е прям. Расст-е от точки до прямой

cosα×x+cosβ×y-p=0 –нормальное ур-е прямой

p – расст-е от нач. координат до прямой

геометрический смысл: нормальное уравнение прямой задает в прямоуг. сист. коорд. Oxy на плоскости прям. с норм-ым вектором единичной длины =(casα;cos расположенную на расстоянии p единиц от начала координат в положительном направлении вектора .

Нахождение расстояния от точки доя прямой.

- сост. Ур-е перпендикуляра из точки на прямую

- найти корд точки пересеч. Прямой и перпендикуляра

- Вычислить расстояние по координатам 2-х точек