5) Обратная матрица и ее свойства:

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E.

Матрица имеет обратную только в том случае, если она является квадратной.

Теорема: Обратная матрица A⁻¹ существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Необходимость: Пусть матрица А имеет обратную A⁻¹, т.е. А* A⁻¹= A⁻¹А=Е. По свойству 10 определителей имеем |A* A⁻¹|=|A|*| A⁻¹|=|E|=1, т.е. |A|≠0 и | A⁻¹|≠0

Достаточность: Пусть |A|≠0. Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка Ã, называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы А', транспонированной к А: ã_ij=A’_ij=A_ij (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n). Тогда элементы произведения матриц Ã*А=В определяются по правилу умножения матриц

6. Матричные уравнения. Решение слау методом обратной матрицы.

Метод обратной матрицы:

- Находим определитель исходной матрицы

- Находим матрицу A', транспонированную к А

- Находим алгебраические дополнения элементов матр.

- Находим присоединенную матрицу к матрице А

- Находим обратную матрицу по формуле

- Находим X по формуле: Х=

7. Метод Крамера

Пусть - определитель матрицы системы А, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: (j=1,2,…,n)

Запишем формулу обратной матрицы в развернутом виде:

Учитывая, что |A|= , получим после умножения матриц:

Откуда следует, что для любого j(j=1,2,…,n) –

На основании свойства определителя , где определител матрицы, полученной из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Следовательно:

8) Ранг матрицы и его вычисление:

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. r(A)≤min(m;n)

r(A)=0 только когда все элементы матр. =0, т.е. А=0

Для квадр. матр. n-го порядка r(A)=n только когда матр. А – невырожденная.

Вычисл. Ранга матр. методом элементарных преобразований:

Суть метода заключается в приведении матр., ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

В данном случае ранг равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

+ Метод перебора миноров.

Теоремы:

Если ранг матрицы совместной сист. Равен числу переменных, т.е. r=n, со система имеет единственное решение. Если r<n, то сист. Неопределенная и имеет бесконечное число решений.

9)Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матр. системы равен рангу расширенной матр. системы.

Доказательство:

Если решение существует, то столбец свободных членов есть лин. комб. столбцов матр. А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.

Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те первое утверждение верно.