1) Матрица, Виды, Преобразования:

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.

Виды: квадратная, прямоугольная, строка, столбец, треугольная, единичная, нулевая, транспонированная, обратная, симметричная относ. диагоналей.

Свойства операций над матрицами:

A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C (A')'=A

(λA)'=λ(A)' (A+B)'=A'+B'

(AB)'=B'A'

2) Метод Гаусса:

Ме́тод Га́усса — классический метод решения СЛАУ. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований СУ приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

3) Определители. Теорема Лапласа.

Определителем квадратной матрицы n-го порядка, называется число, равное алгебраической сумме n! Членов, каждый из которых является произведением и элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)^r(J)

где (-1)^r(J) – число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания.

= ∑_(J)(-1)^r(J)a_1j1*a_2j2*…*a_njn

_{где сумма берется по всем перестановкам J.}

Теорема Лапласа:

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам i-й строки);

(разложение по элементам j-го столбца).

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки

Что совпадает с определением определителя матрицы третьего порядка.

4) Свойства определителей:

Св-ва определителей.

- При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

- Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

- Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

- При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

- Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

- Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число А, то ее определитель умножится на это же число.

- Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

- Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

- Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

- Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей.

- Определитель матрицы не меняется если к любой строке (столбцу) прибавить любую другую строку, домноженную на произвольную постоянную.