Лекции по логике

2009 г.

Логика

Логика – это нормативная наука о формах и приемах интеллектуальной познавательной деятельности, осуществляемой с помощью языка.

Познание – процесс отражения в человеческом мозге некоторой информации. Познание бывает:

• Чувственное

• Рациональное (вербальность, абстрактность, целенаправленность)

Язык – знаковая система, предназначенная для обработки, фиксирования, передачи и хранения информации.

Естественный язык создается в историческом процессе, основная задача – общение. Искусственный язык создается целенаправленно для решения определенных задач.

Объектный язык – это тот язык, которым ведется какое-либо исследование. Метаязык – тот язык, который используется для изучения другого языка.

Знак – это объект, который выступает в качестве представителя какого-либо другого объекта. Характеристики знака:

• Значение – тот самый объект, представителем которого является данный знак

• Смысл – информация о представляемом объекте, которую несет сам знак или которая связывается с ним в процессе человеческого общения или познания.

С точки зрения

1. значения знаки бывают:

   • пустые – на заданной предметной области нет ни одного объекта, представителем которого выступал бы этот знак

   • непустые – на заданной предметной области знак выступает представителем хотя бы одного объекта

2. смысла знаки бывают:

   • описательные – знак сам несет информацию о представляемом объекте

   • неописательные – информация связывается в процессе человеческого общения/познания

Семиотика – наука о знаках. Делится на:

• Синтактика – изучает отношения между самими знаками

• Семантика – изучает отношения между знаком и представляемым им объектом

• Прагматика – изучает отношения между знаком и его интерпретатором

Классическая теория высказываний (клв)

КЛВ – логическая теория, содержащая один тип нелогических символов – пропозициональные переменные, и один тип логических символов – пропозициональные связки.

Высказывание – повествовательное предложение, о котором однозначным образом можно утверждать, что оно истинное или ложное.

Язык КЛВ:

• Алфавит

  • p, q, r, s, p₁, … - пропозициональные переменные

  • ˥, &, V, , , V – пропозициональные связки

  • ), ( - технические символы

˥ - отрицание (не) & - конъюнкция (и) V – дизъюнкция (или) V – строгая дизъюнкция (либо, либо) - импликация (если, то) - эквивалентность (тогда и только тогда, если и только если)

• Определение ППФ

  • Всякая пропозициональная переменная – это ППФ

  • Если A – ППФ, то ˥A – так же ППФ

  • Если A и B – ППФ, то (A&B), (AVB), (AVB), (A B), (A B) – ППФ

  • Ничто иное не является ППФ

Пример: если гора не идет к Магомету, то Магомет идет к горе.

P – гора идет к Магомету Q – Магомет идет к горе

˥P Q

Таблицы истинности

1 = истинно

0 = ложно

A	B	A&B (*)	AVB (+)	AVB (-)	A B (≤)	A B (=)
1	1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	1	1	0
0	0	0	0	0	1	1

Всего строк 2ⁿ где n – это число различных пропозициональных переменных, вошедших в формулу.

Результирующий столбец таблицы находится под главным знаком формулы.

Виды формул:

1. Тождественно-ложные (противоречия) – если и только если в каждой строке результирующего столбца она принимает значение «ложь» (0).

2. Выполнимые – если и только если она принимает значение «истина» хотя бы в одной строке результирующего столбца.

3. Собственно выполнимая – если и только если в каждой строке результирующего столбца она принимает значение «истина»

3 закона КЛВ

1. Закон тождества A A

2. Закон исключенного третьего AV˥A

3. Закон противоречия ˥(A&˥A)

4. Закон контрпозиции (A B) (˥B ˥A)

Отношения между формулами:

• Фундаментальные (основные) – формулы некоторого множества Г находятся в отношении совместимости по ложности если и только если хотя бы в одной строке их совместной таблицы они одновременно принимают значение ложь

• Вспомогательные – формулы некоторого множества Г находятся в отношении совместимости по истинности если и только если хотя бы в одной строке их совместной таблицы они одновременно принимают значение «истина»

• Из множества формул Г логически следует формула B (Г|=B) если и только если в их совместной таблице не находится такой строки, в которой все формулы из Г одновременно принимают значение «истина», а формулы B – ложь.

• Формулы A и B находятся в отношении контрарности если и только если они совместимы по ложности и не совместимы по истинности

• Формулы A и B находятся в отношении субконтрарности если и только если они совместимы по истинности и не совместимы по ложности

• Формулы A и B находятся в отношении контрадиктности если и только если они не совместимы по ложности и не совместимы по истинности или не совместимы по ложности

• Формула B находится в отношении подчинения к формуле A если и только если из формулы A|=B, а из формулы B не следует A

• Формулы A и B находятся в отношении эквивалентности если и только если A|=B и B|=A

• Формулы A и B находятся в отношении независимости если и только если они совместимы по истинности, совместимы по ложности и не следуют друг из друга