11. Логические функции двух переменных

12. Разложение булевых функций по переменным

13. Понятие и построение СДНФ

14. Понятие и построение СКНФ

15. Эквивалентные преобразования логических формул. Основные законы

16. Эквивалентные преобразования логических формул. Правила поглощения, склеивания развертывания Правила склеивания

Правило склеивания для элементарных конъюнкций следует из распределительного закона, закона дополнительности и закона универсального множества: дизъюнкцию двух соседних конъюнкций можно заменить одной элементарной конъюнкцией, являющейся общей частью исходных конъюнкций.

Правило склеивания для элементарных сумм следует из распределительного закона второго рода, закона дополнительности и закона нулевого множества: конъюнкцию двух соседних дизъюнкций можно заменить одной элементарной дизъюнкцией, являющейся общей частью исходных дизъюнкций.

Правило поглощения

Правило поглощения для суммы двух элементарных произведений следует из распределительного закона первого рода и законов универсального множества: дизъюнкцию двух элементарных конъюнкций, из которых одна является составной частью другой, можно заменить конъюнкцией, имеющей меньшее количество операндов.

Правило поглощения для произведения элементарных сумм следует из распределительного закона второго рода и законов нулевого множества: конъюнкцию двух элементарных дизъюнкций, из которых одна является составной частью другой, можно заменить элементарной дизъюнкцией, имеющей меньшее количество операндов.

Правило развертывания

Это правило определяет действие обратное склеиванию.

Правило развертывания элементарного произведения в логическую сумму элементарных произведений большего ранга (в пределе до r = n, т.е. до конституент единицы, как и будет рассмотрено ниже) следует из законов универсального множества, распределительного закона первого рода и производится в три этапа:

- в развертываемое элементарное произведение ранга r вводится в качестве сомножителей n-r единиц, где n- ранг конституенты единицы;

- каждая единица заменяется логической суммой некоторой, не имеющейся в исходном элементарном произведении переменной и ее отрицания: x_i v x_i = 1;

- производится раскрытие всех скобок на основе распределительного закона первого рода, что приводит к развертыванию исходного элементарного произведения ранга r в логическую сумму 2^n-r конституент единицы.

Правило развертывания элементарного произведения используется для минимизации функций алгебры логики (ФАЛ).

Правило развертывания элементарной суммы ранга r до произведения элементарных сумм ранга n (конституент нуля) следует их законов нулевого множества (6) и распределительного закона второго рода (14) и производится в три этапа:

- в развертываемую сумму ранга r в качестве слагаемых вводится n-r нулей;

- каждый нуль представляется в виде логического произведения некоторой, не имеющейся в исходной сумме переменной и ее отрицания: x_i·x_i = 0;

-получившееся выражение преобразуется на основе распределительного закона второго рода (14) таким образом, чтобы исходная сумма ранга r развернулась в логическое произведение 2^n-r конституент нуля.

17. Понятие полной системы. Примеры полных систем (с доказательством)

Определение. Множество функций алгебры логики A называется полной системой (в P2), если любую функцию алгебры логики можно выразить формулой над A.

Система функций A={ f₁, f₁,…, f_m }, являющаяся полной, называется базисом.

Минимальным базисом называется такой базис, для которого удаление хотя бы одной функции f₁ , образующей этот базис, превращает систему функций (f₁, f₁,…, f_m) в неполную.

Теорема. Система A = {∨, &, ¬} является полной.

Доказательство. Если функция алгебры логики f отлична от тождественного нуля, то f выражается в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы, в которую входят лишь дизъюнкция, конъюнкция и отрицание. Если же f ≡ 0, то f = x & ¬x . Теорема доказана.

Лемма. Если система A — полная, и любая функция системы A может быть выражена формулой над некоторой другой системой B, то B — также полная система.

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию алгебры логики f (x₁, …, x_n) и две системы функций: A = {g₁, g₂, …} и B = {h₁, h₂, …}. В силу того, что система A полна, функция f может быть выражена в виде формулы над ней:

f (x₁, …, x_n) = ℑ[g1, g2,…]

где g_i= ℜ_i[h1,h2,…]

то есть функция f представляется в виде

f (x₁, …, x_n)=ℑ[ℜ1,ℜ2,...]

иначе говоря, может быть представлена формулой над B. Перебирая таким образом все функции алгебры логики, получим, что система B также полна. Лемма доказана.

Теорема. Следующие системы являются полными в P₂:

1) {V, ¬} ;

2) {&, ¬} ;

3) { | };

4) {&, ⊕ , 1}базис Жегалкина.

Доказательство.

1) Известно (теорема 3), что система A = {&, V, ¬} полна. Покажем, что полна система B = { V, ¬ . Действительно, из закона де Моргана ¬(x& y) = (¬x ∨ ¬y) получаем, что x & y =¬ (¬x ∨ ¬y) , то есть конъюнкция выражается через дизъюнкцию и отрицание, и все функции системы A выражаются формулами над системой B. Согласно лемме система B полна.

2) Аналогично пункту 1: ¬( x ∨ y) = x & y ⇔ x ∨ y =¬( ¬x & ¬y) и из леммы 2 следует истинность утверждения пункта 2.

3) x | y=¬(x&y), x | x = ¬x ; x & y = ¬(x | y) = (x | y) | (x | y) и согласно лемме 2 система полна.

4) ¬x = x ⊕1 и согласно лемме 2 система полна.

Теорема доказана.