Лекция 6 Принятие коллективных решений

Под принятием коллективных решений будем понимать решение, в которых принимает участие более одного человека. Т.к. участников коллективного принятия решений более одного. То и существующих вариантов решений/мнений/стратегий/альтернатив может быть больше одного. Основными методами, применяемыми при коллективном выборе, являются методы голосования.

Постановка задачи: пусть N – есть конечное количество агентов/избирателей, а М – количество альтернатив/кандидатов. В зависимости от своих предпочтений каждый избиратель (И) выбирает кандидатов (К) в зависимости от правил голосования.

Пусть кандидатов 2 – в этом случае принятия решения путем простого множества голосов является наиболее справедливым, т.е. удовлетворяет большинство. Но что делать. Если альтернатив больше 2-х?

Существует два основных подхода к определению победителя:

– подход, связанный с ранжированием кандидатов по предпочтениям;

– подход, связанный с начислением балов.

Метод Кондорсе (принцип Кондорсе).

Классическим методом для 1-го подхода является метод Кондорсе (1785), описанный им в «Рассуждения о применении анализа к оценке выборов большинством голосов».

Кондорсе определил правило, по которому сравнение выбираемых альтернатив (кандидатов) производится с учетом полной ординалистской информации о предпочтениях избирателей.

Согласно принципу Кондорсе, для определения истинной воли большинства необходимо, чтобы каждый голосующий проранжировал всех кандидатов в порядке их предпочтения. После этого для каждой пары кандидатов определяется, сколько голосующих предпочитает одного кандидата другому - формируется полная матрица попарных предпочтений избирателей.

На базе этой матрицы, используя транзитивность отношения предпочтения, можно попытаться построить коллективную ранжировку кандидатов.

Рассмотрим следующий пример: пусть имеются M=3 кандидата (альтернативы) и N=60 избирателей. Необходимо определить победителя при условии, что победитель выбирается большинством голосов.

№	Ранжировка	Количество (И)
1		23 человека
2		19 человек
3		16 человек
4		2 человека

Для приведенной таблицы ранжировки получаем, что кандидаты набрали соответственно: А=23; В=19; С=16+2=18. Т.е. победителем по относительному большинству голосов является А.

Допустим, что выборы идут в 2-а тура, в первом выбираются 2-е лучших альтернативы (по количеству голосов), одна из которых становится лучшей во втором (аналог украинских президентских выборов).

По количеству голосов лидируют А и В, которые проходят во второй тур. Учитывая значения из таблицы, подсчитаем, сколько человек отдадут голоса за каждого из кандидатов, при условии, что мнение избирателей не меняется.

А лучше В: 1 строка + 4 строка = 23+2 = 25.

В лучше А: 2 строка + 3 строка = 19+16 = 35 (или 60-25).

Т.е. победителем будет В.

Теперь рассмотрим внимательно кандидата С:

С лучше А: 2 строка + 3 строка + 4 строка = 19+16+2 = 37 (большинство).

С лучше В: 1 строка + 3 строка + 4 строка = 23+16+2 = 41 (большинство).

Т.е. кандидат С при парном сравнении оказался лучше кандидатов А и В, при этом с использованием 2-х рассмотренных систем голосования он оказался последним!

Из рассмотренных выше примеров проведения голосования очевидно, что победитель определяется не количеством голосов, а правилами проведения голосования.

Теперь рассмотрим метод, предложенный Кондорсе. Для этого определим попарно сколько избирателей считает одного кандидата лучше или хуже другого:

№	Попарные предпочтения	Количество (И)
1	( )	23 (37)
2	( )	25 (35)
3	( )	19 (41)

Составим теперь отношение предпочтения большинства, которые объединяют данные суждения:

По методу Кондорсе победителем будет С.

Парадокс Кондорсе

В другом примере, рассмотренном Кондорсе:

– 1 человек: 

– 1 человек: 

– 1 человек: 

По итогам голосования двумя третями голосов получаем три утверждения:  ,  ,  . Но вместе эти утверждения противоречивы. В этом и состоит парадокс Кондорсе или парадокс коллективного выбора. Оказывается невозможным определить волю большинства и принять какое-то согласованное решение.

Таким образом, при наличии более двух альтернатив и более двух избирателей коллективная ранжировка альтернатив может быть цикличной (не транзитивна), даже если ранжировки всех избирателей не являются цикличными (транзитивны). Таким образом, волеизъявления разных групп избирателей, каждая из которых представляет большинство, могут вступать в парадоксальное противоречие друг с другом.

Парадокс составного голосования

В другой форме парадокс Кондорсе возникает при постатейном принятии некоторого постановления или закона, когда каждая из статей закона принимается большинством голосов, а поставленный на голосование закон в целом отвергается (иногда даже стопроцентным большинством голосующих). Либо наоборот, вполне возможно, что коллективно будут приняты решения, которые на индивидуальном уровне не поддерживал ни один из голосующих.

Пример. Пусть у нас имеются три человека, голосующих по трем вопросам. Первый из них голосует «да» по первому вопросу, «да» по второму и «нет» по третьему («да»/«да»/«нет»), второй — «да»/«нет»/«да», третий — «нет»/«да»/«да». Суммарный итог голосования подсчитывается как соотношение сумм голосов «да» и «нет» по каждому из вопросов. В рассмотренном случае суммарный итог голосования будет «да»/«да»/«да». Этот итог не отражает мнения ни одного из голосовавших и, естественно, не удовлетворяет никого.

Согласно второй, широко используемой в мире процедуре (голосование в 2 тура), победить может кандидат, который проигрывает отсеянному в первом туре кандидату в отношении вплоть до 1 к 1,99... Парадоксальность такой ситуации на реальных выборах иногда путают собственно с парадоксом Кондорсе. Принцип Кондорсе устраняет подобные ошибки, связанные с неполным учетом предпочтений избирателей в первом туре, но может приводить к неразрешимому противоречию.