Раздел V. Динамическое и выпуклое программирование.

Задача 13. (13.1- 13.100). Работа предприятия планируется на четырехлетний период. Начальный запас средств равен a. Средства х, вложенные в i – м году, i = 1,2,3,4 в предприятии П₁ приносят к концу этого года доход ƒ_i(х) = ₁х² и возвращаются в размере _i(х) = y_iх.

Аналогично, для предприятия П₂ эти же величины описываются функциями g_i(х) =_iх² и _i(х) = _iх, о < _i < 1. В начале каждого года все имеющиеся средства перераспределяются между предприятиями. Требуется:

1. Определить способ распределения средств, максимизирующий суммарный доход за весь четырехлетний период при условии, что доход в производство не вкладывается, и новые средства не поступают;

2. Составить в общем виде рекуррентные соотношения при условии, что 5% дохода, полученного в данном году, вкладывается в производство в следующем году ( но новые средства не поступают);

3. В условиях предыдущего пункта в начале каждого года поступают дополнительные средства в количестве t_к , к – номер года. Составить рекуррентные соотношения.

№	1	1	1	1	2	2	2	1	3	3	3	3	4	4
1	0,5	0,2	0,5	0,7	0,7	0,5	0,3	0,7	0,6	0,4	0,3	0,6	0,5	0,6
2	0,5	1,5	0,9	0,4	0,9	0,6	0,7	0,9	0,7	0,6	0,5	0,8	0,6	0,5
3	1,2	1,8	0,5	0,3	1,0	2,5	0,9	0,5	2,5	1,1	0,4	0,9	2,0	2,3
4	1,0	1,6	0,6	0,2	2,0	1,2	0,3	0,7	1,2	1,6	0,6	0,4	2,5	2,0
5	1,8	0,9	0,4	0,9	0,9	0,6	0,6	0,8	1,0	0,5	0,3	0,7	0,7	1,1
6	1,0	2,5	0,9	0,5	1,2	0,5	0,7	0,9	2,0	2,5	0,9	0,6	1,1	0,7
7	0,8	1,3	0,5	0,3	3,0	0,8	0,3	0,8	1,3	2,5	0,7	0,4	1,9	2,8
8	0,8	1,5	0,8	0,5	1,5	1,0	0,4	0,6	1,2	2,5	0,9	0,1	1,8	1,5
9	1,1	0,8	0,5	0,7	0,5	0,3	0,3	0,7	0,9	0,7	0,3	0,6	0,4	0,6
10	0,2	1,2	0,9	0,4	1,0	0,8	0,7	0,9	0,8	0,6	0,5	0,8	0,6	0,4
11	1,1	1,8	0,5	0,3	1,2	3,0	0,9	0,5	3,2	1,9	0,4	0,9	1,4	2,2
12	1,0	1,8	0,6	0,2	2,4	1,6	0,3	0,7	1,4	1,7	0,6	0,4	2,4	1,8
13	0,8	1,5	0,8	0,5	1,2	0,9	0,5	0,7	1,2	0,7	0,3	0,7	0,9	1,1
14	0,7	1,9	0,9	0,5	1,6	1,0	0,4	0,8	0,9	1,5	0,9	0,6	1,1	0,9
15	2,0	2,7	0,5	0,3	4,0	1,0	0,3	0,8	2,5	3,2	0,7	0,4	1,3	1,8
16	2,0	2,5	0,8	0,5	1,5	0,9	0,4	0,6	1,5	3,0	0,9	0,1	2,0	1,5
17	0,5	1,15	0,7	0,4	1,5	0,9	0,5	0,7	0,95	0,5	0,3	0,9	0,3	0,6
18	0,3	1,1	0,9	0,4	1,0	0,7	0,4	0,8	0,5	0,4	0,5	0,8	0,6	0,3
19	1,2	2,2	0,5	0,3	1,7	4,0	0,9	0,5	3,2	1,4	0,4	0,9	2,8	3,2
20	1,3	1,8	0,6	0,2	1,5	0,9	0,3	0,7	1,2	1,4	0,6	0,4	1,5	1,0
21	0,8	1,2	0,6	0,9	0,7	0,4	0,8	0,9	2,0	1,5	0,3	0,7	1,0	1,1
22	0,7	1,8	0,9	0,5	1,5	0,9	0,4	0,8	0,7	1,3	0,9	0,6	1,1	1,0
23	1,2	2,0	0,5	0,3	4,2	1,2	0,3	0,8	1,5	2,9	0,7	0,4	3,7	4,0
24	2,0	3,4	0,8	0,5	3,7	3,0	0,4	0,6	1,3	2,2	0,9	0,1	0,8	1,2
25	1,1	1,4	0,8	0,6	1,1	0,9	0,4	0,6	0,9	0,4	0,1	0,7	0,2	0,6
26	2,0	2,4	0,9	0,4	0,8	1,0	0,6	0,3	0,4	0,2	0,5	0,8	0,6	0,2
27	1,9	3,0	0,5	0,3	2,0	4,8	0,9	0,5	4,0	1,5	0,4	0,9	3,8	4,5
28	0,9	0,4	0,6	0,2	1,4	0,7	0,3	0,7	1,5	1,6	0,6	0,4	0,9	0,6
29	0,5	0,8	0,6	0,5	1,5	1,2	0,4	0,6	1,7	1,2	0,3	0,7	0,8	1,1
30	1,2	1,9	0,7	0,4	1,5	1,2	0,3	0,6	0,9	0,2	0,9	0,6	1,1	0,8
31	1,4	2,0	0,7	0,3	1,2	1,6	0,6	0,2	1,2	1,0	0,4	0,6	0,9	1,5
32	1,3	1,5	0,3	0,1	3,4	2,0	0,3	0,7	1,1	2,0	0,9	0,7	3,1	2,5
33	0,8	1,8	0,9	0,4	1,5	0,9	0,4	0,8	1,2	0,9	0,5	0,9	0,2	0,5
34	2,1	2,8	0,8	0,3	1,3	1,0	0,1	0,5	1,5	1,4	0,2	0,6	0,5	0,2
35	0,8	1,5	0,7	0,3	1,3	1,8	0,6	0,2	1,2	0,8	0,4	0,6	1,5	2,5
36	1,3	1,6	0,4	0,2	1,7	1,0	0,5	0,9	1,4	2,9	0,9	0,1	2,0	1,2
37	1,8	1,0	0,4	0,7	1,0	1,9	0,8	0,4	0,9	1,3	0,9	0,5	0,4	0,8
38	1,8	1,3	0,3	0,6	1,1	1,8	0,6	0,2	1,9	1,5	0,3	0,8	0,8	0,4
39	1,0	1,8	0,7	0,3	1,4	1,9	0,6	0,2	1,4	0,8	0,4	0,6	2,0	3,5
40	1,5	1,8	0,3	0,1	4,0	2,0	0,3	0,7	2,3	3,3	0,9	0,7	3,5	2,5
41	0,3	1,5	0,9	0,4	2,0	1,0	0,4	0,8	1,7	1,2	0,5	0,9	0,3	0,8
42	1,5	2,4	0,8	0,3	1,7	1,4	0,1	0,5	1,3	1,1	0,2	0,6	0,8	0,3
43	0,4	1,3	0,7	0,3	1,4	2,1	0,6	0,2	1,8	1,1	0,4	0,6	3,5	4,2
44	1,2	1,7	0,4	0,2	2,0	0,8	0,5	0,4	1,9	5,0	0,9	0,1	4,0	3,7
45	1,9	1,5	0,4	0,7	0,5	0,9	0,8	0,4	0,5	0,95	0,9	0,5	0,7	0,9
46	2,1	1,4	0,3	0,6	1,3	1,9	0,6	0,2	1,7	1,3	0,3	0,8	0,9	0,7
47	1,1	2,0	0,7	0,3	1,3	2,1	0,6	0,2	2,0	1,1	0,4	0,6	4,7	5,1
48	1,6	2,0	0,3	0,1	4,0	2,3	0,3	0,7	1,5	3,0	0,9	0,7	5,0	4,2
49	0,2	0,8	0,9	0,4	1,2	0,4	0,4	0,8	1,3	0,9	0,5	0,9	0,4	0,7
50	2,0	3,0	0,8	0,3	1,8	1,4	0,1	0,5	1,7	1,5	0,2	0,6	0,7	0,4
51	0,8	0,9	0,85	0,8	1,0	1,1	0,6	0,5	0,7	0,8	0,8	0,7	0,9	1,1
52	0,8	1,0	0,7	0,6	1,1	1,2	0,7	0,5	0,9	0,7	0,6	0,8	1,1	1,0
53	0,7	0,8	1,0	0,9	1,0	0,9	0,7	0,8	0,95	1,1	0,8	0,7	1,2	1,1
54	1,1	1,0	0,7	0,8	1,3	1,5	0,9	0,8	0,7	0,8	0,8	0,7	0,9	0,8
55	1,2	1,1	0,5	0,6	1,1	1,3	0,6	0,5	1,3	1,4	1,0	0,9	1,1	1,0
56	1,0	1,2	0,7	0,6	0,9	1,0	0,85	0,7	0,8	0,7	0,43	0,6	0,7	0,9
57	0,9	1,1	1,0	0,9	1,1	1,0	0,7	0,8	0,9	0,8	0,6	0,5	1,0	1,1
58	1,0	1,1	1,0	0,8	0,9	0,7	0,5	0,7	1,0	0,9	0,5	0,6	1,3	1,2
59	0,7	0,6	0,8	0,9	0,8	1,0	1,0	0,9	0,9	0,7	0,7	0,95	0,9	0,7
60	1,0	0,8	0,7	0,8	1,1	1,0	0,9	1,0	0,9	1,0	0,9	0,8	0,8	0,9
61	1,1	1,3	0,5	0,4	0,8	0,6	0,7	0,9	1,2	1,1	0,6	0,7	0,9	1,0
62	1,2	1,1	0,7	0,8	0,9	1,1	0,7	0,4	0,7	0,5	0,4	0,6	0,8	1,1
63	0,9	0,7	0,6	0,8	1,2	1,0	0,5	0,7	0,9	1,0	0,8	0,7	1,0	1,2
64	0,7	0,5	0,7	0,8	0,6	0,5	0,8	0,9	1,0	0,8	0,6	0,9	1,2	1,0
65	1,2	1,1	0,6	0,8	0,8	0,9	0,7	0,6	0,7	0,5	0,7	0,9	0,8	0,9
66	0,8	0,9	0,85	0,8	0,7	0,8	0,8	0,7	0,9	1,1	0,6	0,5	1,0	1,1
67	0,8	1,0	0,7	0,6	0,9	0,7	0,6	0,8	1,1	1,2	0,7	0,5	1,1	1,0
68	0,8	1,0	0,7	0,6	1,1	1,0	0,7	0,8	0,9	0,7	0,6	0,8	1,1	1,2
69	1,2	1,1	0,7	0,8	0,8	1,1	0,6	0,5	0,9	1,1	0,7	0,4	0,7	0,5
70	1,2	1,1	0,7	0,8	0,7	0,8	1,0	0,9	0,9	1,1	0,8	0,7	1,0	0,9
71	0,9	0,8	0,7	0,8	1,1	1,0	0,7	0,8	1,3	1,4	0,9	0,8	0,7	0,8
72	1,1	1,0	0,5	0,6	1,3	1,4	1,0	0,9	1,2	1,1	0,5	0,6	1,1	1,3
73	0,9	0,7	0,5	0,6	0,7	0,9	0,7	0,6	0,9	1,0	0,85	0,7	1,2	1,1
74	1,0	1,1	0,8	0,7	0,7	0,8	0,6	0,5	0,9	1,1	1,0	0,9	1,0	1,1
75	0,9	0,8	0,5	0,6	0,9	1,0	0,8	0,7	1,0	1,1	0,9	0,8	0,9	0,8
76	0,9	0,7	0,5	0,6	1,3	1,2	0,5	0,6	1,0	1,1	1,0	0,8	1,0	0,9
77	1,0	0,7	0,7	0,8	0,9	0,7	0,8	0,9	0,8	1,0	1,0	0,9	0,7	0,6
78	1,0	1,3	1,1	0,9	0,8	0,6	0,7	0,9	0,5	0,8	0,8	0,4	1,2	1,1
79	0,8	1,1	0,7	0,5	0,8	1,0	1,1	0,9	0,7	0,6	0,5	0,7	0,8	0,9
80	1,2	1,0	0,8	0,9	1,0	0,8	0,6	0,9	0,7	0,6	0,7	0,8	0,6	0,5
81	1,5	1,3	0,7	0,9	0,8	0,95	0,6	0,5	0,5	0,3	0,8	0,9	1,0	1,1
82	2,0	1,8	0,5	0,7	0,9	1,1	0,6	0,4	0,7	1,0	1,0	0,8	1,4	1,3
83	1,2	1,5	0,8	0,7	0,3	0,7	1,0	0,8	0,6	0,8	0,9	0,6	1,0	1,2
84	0,8	1,0	1,1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,7	1,0	0,9	0,5	0,7	1,3	1,0
85	0,5	0,8	0,8	0,4	0,7	0,8	0,4	0,2	1,0	0,8	0,5	0,7	1,0	1,5
86	1,2	0,8	0,8	1,1	1,1	0,9	0,5	0,7	1,0	1,1	0,7	0,5	1,2	1,0
87	0,8	0,6	0,7	0,9	0,7	0,8	0,5	0,4	0,9	0,7	0,4	0,6	1,2	1,3
88	1,1	1,0	0,8	0,9	0,6	0,8	0,9	0,6	1,0	0,8	0,5	0,7	0,7	0,9
89	0,6	0,8	0,9	0,7	1,0	0,9	0,6	0,8	1,1	0,9	0,6	1,0	0,8	0,6
90	1,0	0,7	0,9	1,1	0,9	0,7	0,5	0,6	1,0	1,1	0,9	0,8	0,9	0,5
91	0,7	0,95	0,6	0,5	1,2	0,9	0,7	0,8	0,9	0,7	0,7	0,8	0,8	1,0
92	0,8	1,1	1,0	0,9	0,9	0,7	0,7	0,8	1,2	1,4	0,7	0,5	1,0	1,2
93	0,8	1,0	0,9	0,8	0,9	0,7	0,7	0,5	1,4	1,2	0,4	0,6	1,3	1,2
94	0,9	0,8	0,7	0,8	1,0	1,2	0,8	0,6	0,7	0,8	0,7	0,5	0,9	1,1
95	1,2	1,4	0,8	0,7	0,7	0,9	0,9	0,8	0,8	0,7	0,8	0,9	1,0	0,8
96	0,9	1,1	0,9	0,8	1,1	0,9	0,6	0,8	1,1	1,2	0,5	0,4	1,2	1,0
97	1,2	0,9	0,6	0,8	1,0	1,2	0,8	0,7	0,7	0,5	0,7	0,8	1,4	1,6
98	0,7	1,0	0,8	0,6	0,5	0,3	0,7	0,8	0,6	0,7	0,9	0,8	0,9	1,2
99	1,5	1,3	0,6	0,8	1,0	0,8	0,4	0,6	0,4	0,6	0,9	0,7	1,0	0,9
100	0,7	0,95	0,6	0,5	2,0	1,7	0,3	0,5	1,0	0,9	0,4	0,5	1,5	1,6

Задача 14. (14.11 -14.100)

14.1- 14.75. Это стандартная задача о загрузке контейнера («задача с рюкзака»): в контейнер вместимостью  должны быть погружены предметы (неделимые) А₁, А₂ ……, А_к . Предмет А_i имеет «объем» V_i и обладает ценностью С_i. Требуется определить загрузку контейнера, при которой максимальна суммарная ценность погруженных предметов.

№		С1	С2	С3	V1	V2	V3
1	160	7	5	4	29	23	17
2	102	5	7	8	13	15	19
3	101	13	8	2	17	11	3
4	230	7	9	12	29	37	47
5	214	2	7	14	8	23	43
6	223	10	28	54	16	43	80
7	116	3	6	11	7	12	21
8	87	120	41	22	20	7	4
9	192	8	16	54	8	15	50
10	124	10	15	54	7	10	35
11	243	8	16	54	8	15	50
12	197	2	5	20	5	11	40
13	163	14	10	8	29	23	17
14	118	4	16	26	3	11	17
15	137	17	7	2	23	13	4
16	234	1	18	24	2	37	47
17	214	6	14	28	8	23	43
18	214	17	9	4	56	30	14
19	135	7	3	2	23	11	3
20	250	22	12	6	42	23	15
21	474	3	14	20	20	90	120
22	398	20	5	2	80	22	9
23	104	2	6	10	4	11	17
24	114	14	9	4	23	17	8
25	169	7	5	4	29	23	17
26	135	13	8	2	17	11	3
27	110	4	9	17	7	15	28
28	460	54	28	10	160	86	32
29	123	10	5	3	21	11	7
30	144	3	8	50	3	7	43
31	79	22	41	120	4	7	20
32	184	107	30	52	35	10	17
33	133	22	5	3	45	11	7
34	137	95	60	21	20	13	5
35	125	8	10	41	9	12	45
36	250	11	7	3	42	26	14
37	173	15	11	8	29	23	17
38	110	15	13	10	19	15	13
39	91	17	7	2	23	13	4
40	135	35	18	8	28	15	7
41	390	27	14	5	80	43	16
42	181	35	18	7	33	17	7
43	293	3	14	19	10	45	60
44	199	36	10	4	40	11	5
45	119	95	61	21	20	13	5
46	148	96	16	6	43	7	3
47	124	2	3	6	8	11	23
48	124	20	12	6	21	13	7
49	151	19	15	11	29	23	17
50	112	4	14	25	4	13	23
51	150	5	4	3	47	39	28
52	137	63	50	37	29	23	17
53	157	53	39	45	40	30	35
54	117	50	27	17	25	14	9
55	43	50	30	13	11	7	3
56	237	20	14	3	60	45	10
57	204	8	7	5	38	30	26
58	182	2	7	17	8	26	46
59	125	3	11	7	7	21	13
60	107	34	18	8	28	15	7
61	44	18	13	15	9	7	8
62	43	7	5	3	4,5	3	2
63	47	11	8	3	5	3,4	1,2
64	73	50	41	32	17	14	11
65	171	93	63	15	43	29	7
66	213	123	62	14	58	29	9
67	37	45	25	18	7	4	3
68	75	43	29	11	19	13	5
69	59	10	9	6	18	17	11
70	155	70	48	32	39	29	19
71	169	88	40	16	39	17	7
72	213	7	4,5	2	43	29	13
73	216	110	49	20	37	17	7
74	74	70	30	13	19	9	4
75	175	46	19	7	32	15	5

14.76- 14.85. Задача о замене оборудования. Производительность машин зависит от ее возраста: доход, приносимый машиной за год равен ƒ (t), где t – ее возраст в начале года. В начале каждого года следует принять одно из решений: а) продолжать работу на старой машине; б) подвергнуть ее реставрации, «омолаживающей» машину на один год и требующей затрат r(t); в) продать старую машину по цене s (t) и купить новую стоимостью S₀. Операции б) и в) считаются, происходящими мгновенно. Определить оптимальное поведение на период в n (n = 4) лет с целью получения максимального дохода. В начале периода возраст машины равен t₀.

Во всех вариантах: ƒ (t) = А - к t; r(t) = А + 10 t; s (t) = s_i – 100 - 50 t, s_i = 1000. Значение коэффициентов А,,к, t₀ даны в таблице.

№	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85
А	1000	1000	900	800	1200	1100	1000	1500	1300	1000
К	70	80	50	100	90	60	100	90	50	80
	0,1	0,04	0,03	0,08	0,05	0,02	0,5	0,01	0,02	0,08
t0	1	0	2	0	1	1	0	2	3	1

14.86 – 14.95. Задача о повышении надежности. Техническое устройство состоит из n (n = 3) элементов, соединенных последовательно, т.е. отказ любого из них влечет за собой отказ всего устройства. Вероятность безотказной работы i-го элемента р_i.

Для повышения надежности каждый элемент можно продублировать идентичными ему элементами (см. рисунок): каждый блок дублирующих элементов отказывает лишь при отказе всех этих элементов. На повышение надежности устройства выделена сумма S_i. Цены элементов равны соответственно С_i, i = 1,2 ….., n. Определить количества дублирующих элементов в каждом блоке так, чтобы была обеспечена максимальная вероятность безотказной работы всей системы (при затратах  S₀ ).

№	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95
Р1 С1	0,8 4	0,9 8	0,7 9	0,7 5	0,9 15	0,8 10	0,85 12	0,6 5	0,75 7	0,9 12
Р2 С2	0,9 5	0,85 6	0,8 11	0,5 4	0,8 11	0,6 8	0,9 14	0,85 11	0,9 10	0,7 7
Р3 С3	0,7 3	0,8 5	0,5 7	0,4 3	0,7 9	0,5 6	0,7 9	0,7 6	0,6 5	0,8 9
S0	17	35	38	19	51	32	37	27	33

14.96 – 14.100. Используя схему динамического программирования, найти наибольшее значение функции.

14.96 ƒ (х) = 2х₁² + 3 х₂² + х₃² в области, определенной неравенствами 3х₁ + х₂ + 4х₃ 10, х_i  0.

14.97. ƒ (х) = 5х₁ + 7 х₂² + х₃² в области, определенной неравенствами 2х₁ +5 х₂ + 8х₃ 20.

14.98. ƒ (х) = х₁ х₂ ….. х_n в области х₁ + х₂ + ……. х_n а, х_i  0.

14.99 ƒ (х) = х₁ х₂ ….. х_n в области х₁ + 2х₂ + ……. 3х₃ + ……..n х_n  а, х_i  0.

14.100. ƒ (х) = 4х₁ + 5х₂ +2х₃ в области, определенной неравенствами 2х₁ + 3х₂ + 2х₃  10, 4х₁ + 2х₂ + 5х₃ 12, х_i  0,целые.

Задача 15. (15.1 – 15.50) Для каждой из приведенных ниже функций:

1. Проверить выпуклость во всем пространстве;

2. Проверить выполнение условий применимости метода наискорейшего спуска для ее минимизации;

3. Найти несколько (не менее трех) начальных приближений по этому методу, исходя из выбранной начальной точки.

15.1. х₁² – х₁ х₂+ 3х₂² + 1/2ln(1 + х₂²) - 2 х₁- 5х₂.

15.2. х₁² – х₁ х₂+ 5х₂² + 1/2аrctg(1 + х₁²) - 2 х₁- 6х₂.

15.3 х₁² – 2х₁ х₂+ 5х₂² + 1/2ln(1 + х₁²)/1+ х₂² - 2/5 х₁- 18/5х₂.

15.4. х₁⁴ + х₁³+ 5х₁² + х₁ х₂ + 2х₂² -13/4 х₁ + 2,5х₂.

15.5. х₁⁴ + 3х₂⁴+ 3х₁² - 4х₁ х₂ + 8х₂² -6 х₁ - 8х₂.

15.6. 2х₁⁴ + х₂⁴+ 5х₁² - х₁ х₂ + 3х₂² -23х₁ + 1,4х₂.

15.7. 2х₁⁴ + 5х₂⁴+ х₁² + х₁ х₂ + 3х₂² - 12х₁ - 11х₂.

15.8 .

15.9.

15.10.

15.11. 3х₁² - 2 х₁ х₂ + 4х₂² - 3х₁ + 2х₂+ 5.

15.12. 4х₁² + х₁ х₂ + 5х₂² - 50х₁ + 60х₂- 5.

15.13. 7х₁² + 8х₂² - 2х₁ х₂ – х₁ + х₂ .

15.14. 3х₁² - 3 х₁ х₂ + 9х₂² + 5х₁ - 8х₂+ 5.

15.15. 3х₁² - 2 х₁ х₂ + 6х₂² + 10х₁ - 12х₂+ 3.

15.16. 18х₁² - 4 х₁ х₂ + 6х₂² + 16х₁ - 16х₂+ 2.

15.17. 9х₁² - 5 х₁ х₂ + 21х₂² - 14х₁ – 44,5х₂.

15.18. 5х₁² - х₁ х₂ + х₂² - 10х₁ - х₂- 5.

15.19.

15.20.

15.21. х₁⁴ + 2х₁² - х₁ х₂ + 4 – 7,6х₁ – 2,4х₂ .

15.22. 2х₁⁴ + х₂⁴ + 10х₁² + 3х₁ х₂ + х₂² – 9,5 х₁. 15.23.

15.24. х₁² - х₁ х₂ + 5х₂² - 4х₁ - 5х₂- 6.

15.25. 2х₁² + 5х₁ х₂ + 4х₂² - 3х₁ - 5х₂.

15.26. 5х₁² + 3х₁ х₂ + х₂² + 3х₁ - 4х₂.

15.27. 3х₁² + 2х₂² + 5 х₃² + 2х₁ х₂ - х₁ х₃ + 5х₂ х₃ + 4х₃ - х₂ .

15.28. 3х₁² + 2х₂² + 2х₃²- 2х₁ х₂ + 4 х₁ х₃ - 2х₂ х₃ + 5х₁ - 3х₂ .

15.29. х₁² + 5х₂² + 3х₃²- 4х₁ х₂ + 2 х₁ х₃ - 2х₂ х₃ - 4х₂ – х₃ .

15.30. 3х₁² + 2х₂² + 3х₃²- 2х₁ х₂ + 4 х₂ х₃ - 2х₁ - 2х₂ + х₃ .

15.31.

15.32. 5х₁² + 3х₁ х₂+ 4х₂² - 2ln(1 + х₁²)+ 5х₁ - х₂

15.33.2х₁² + 3х₂² + 4х₃²+ 4х₁ х₂ + 4 х₂ х₃ - 2х₁ х₂ +3х₁ – х₂ .

15.34.

15.35. 5(х₁² + 3х₂² + х₃²+ х₁ х₂ + х₂ х₃ +1)^3/2+ 3х₁ – х₂ .

15.36. (х₁ - 3х₂ -1)²+ (6х₁ - х₂ - х₃ -2)²+ (2х₁ + 5х₂ + х₃ -1)² .

15.37.

15.38. 4х₁² + 3х₂² + 2х₃²+ 4х₁ х₂ - 2 х₁ х₃ - 4х₂ х₃ +2х₁ – 3х₂ .

15.39. 5х₁² + 2х₂² + 5х₃²+ х₁ х₂ + 2х₁ х₃ - 3х₂ х₃ +4х₁ – 5х₂ + х₃ .

15.40. (4х₁ - 2х₂ + х₃ - 5)²+ (х₁ + х₂ +5х₃ -1)²+ (2х₁ - х₂ + х₃ -4)² .

15.41. х₁² + 3х₁ х₂ + 2х₂² - х₁ + 5х₂ + е.

15.42. х₁² - х₁ х₂ + 5х₂² + 6х₃²+ 4х₁ х₃ - х₂ х₃ + 5х₂ - х₃ .

15.43. 2х₁² + 6х₂² + 8х₃²- 2х₁ х₃ - х₁ х₃ +5х₂ х₃ .

15.44. х₁⁴ + х₂⁴ + 2х₁²- х₁ х₂ + х₂ ² + х₁ + 5х₂ .

15.45. х₁⁴ + х₂⁴ + 4х₁² + х₂ ² + 3 х₃² + х₁ х₂ - х₂ х₃ +х₃ х₁ .

15.46.

15.47. 2х₁² + 3х₂² + х₃² + х₁ х₂ + х₁ х₃ - х₂ х₃ - 5х₂ + х₁ + х₃ .

15.48. 6х₁² + 3х₂² - 5х₁ х₂ + 1ln(1 + х₁²+ х₂² ) .

15.49. 3х₁² - х₁ х₂ + 4х₂² + 5х₃²- 3х₂ х₃ - 2х₁ х₃ .

15.50.

Задача 16. (№ 16.1 – 16.50). Дана функция.

ƒ (х) = 3х₁² - х₁х₂ + х₂²+ 5х₃²- 23х₁ - 9х₂ + 10 .

В каждом номере заданы ограничения, описывающие некоторою область на плоскости. Требуется:

1. Установить выпуклость области и нарисовать ее;

2. Определить точки, в которых активны, по крайней мере, два ограничения;

3. Для каждой из этих точек изобразить на рисунке множество допустимых направлений;

4. Описать множество допустимых направлений системой соответствующих неравенств ограничений;

5. Из наглядных соображений выяснить, являются ли точки из п.2 точками функции в рассматриваемой области;

6. Рассмотреть тот же вопрос, исходя из системы неравенств п.4;

7. Выяснить, применима ли теорема Куна- Таккера. Если да, то записать ее условия в общем виде и для выделенных ранее точек;

8. Составить штрафную функцию;

9. Составить функцию Лагранжа и записать для нее соотношения, определяющие седловую точку;

10. Вычислить несколько начальных приближений градиентного метода определения седловой точки функции Лагранжа.

1. х₁² + х₂²  3, х₂  2 х₁² , х₁  0.

2. х₁² + х₂²  5, х₁² + х₂² - 10 х₂ + 15  0 , х₁  0.

3. х₂  х₁² , х₂  8 - 3 х₁² , х₂  1.

4. 2х₁² + х₂²  16, х₂   3 х₁², х₁  0.

5. 2х₁² + х₂²  16, х₂ -  2х₁  0, х₂ +  2х₁  0 .

6. х₁² + 12х₂²  16, х₁² + х₂²  5, 2х₂ + х₁  0.

7. х₁² + х₂²  3, х₂ - 2х₁  0.

8. х₁² + х₂²  5, 5х₁ + 8х₂²  28, х₁ + х₂ + 1  0.

9. х₁² + х₂²+ 4 х₂ + 12  0, х₁² + х₂²+ 2х₂  0, х₁ + 1  0.

10. х₁² + х₂²+ 2 х₂  0, х₁² - 4х₂²- 2  0.

11. х₁² - х₁  0, х₁ + х₂ -2  0.

12. 3х₁ + х₂ -4  0, х₁² - х₂  0.

13. х₁² - х₂ - 15  0, 7х₁ ^- х₂ -27  0.

14. [х₁] + [х₂]  4, х₁² + х₂²  10.

15. х₁² + х₂²  16, х₁² - 8 х₁ + х₂²  0.

16. 3х₁² + 2х₂² - 30  0, х₂ - 3х₁  0.

17. 3х₁² + 2х₂² - 30  0, 9х₁ - 2х₂ ²  0.

18. х₁ - 2х₂ + 5  0, 10х₁ + 2х₂ + 6  0, х₂  х₁ .

19. х₂  х₁² – 11/4, х₁ + х₂  1.

20. 5х₁² + 5х₂ + 22  0, 10х₁ - 5х₂ - 37  0.

21. 11х₂ - 8/х₁  0, 11х₁ - 11х₂ - 3  0, -3  х₂  0.

22. 7х₂ + 4/х₁  0, х₁ - 7х₂ - 5  0, х₁  0.

23. х₂ - х₁² + 11/7  0, 7х₂ + 4/х₁  0, х₁  0,5.

24. х₂ + 5/х₁  0, 6х₁ - 2х₂ - 17  0, х₁  0.

25. х₂ + 5/х₁  0, 4х₁² + 4х₂²  41, х₁  0.

26. х₂ + 5/х₁  0, 2х₁ - х₁² + 13  0, х₁  0.

27. х₂ + 5/х₁  0, 2х₁ + 4х₂² - 11 0, 2 х₂  -25 , х₁ 0.

28. 5х₂ - 28/х₁  0, х₁ - 5х₂² - 12 0,-3 х₂  0 .

29. 5х₂ - 28/х₁  0, 49х₁² + 600х₂² 4900, х₁ 0.

30. 5х₂ - 28/х₁  0, 5х₂ + х₁² + 10 0, -3 х₂  0.

31. 5х₂ - 28/х₁  0, 5х₂ - х₂ 0, х₂  -2.

32. х₁² - 2х₂ - 2  0, х₁² + 4х₂²  8.

33. х₁² + 4 х₂³  8, 2х₁ - х₂ + 5 0.

34. х₁² + 4 х₂²  8, х₁² - 8х₂ + х₂² + 11 0.

35. 6х₁² + 4 х₂²  8, х₂ - 2/ х₁ + 1  0.

36. х₂  3/ х₁, х₂  4 + 3/ х₁ – 4.

37. х₂  8/ х₁, х₂  3х₁ – 40/ х₁ – 8.

38. х₂  10/ х₁, х₂  10х₁ – 60/ х₁ – 10, х₂ - 2х₁  0.

39. 3х₂ - х₁²  0, х₂  4 + 7²/7(х₁ – 4), х₁  4.

40. х₂² - 3 х₁  0, х₂  1 - 2/х₁ – 4.

41. х₁² + 16х₂² - 64 0, х₁² + х₂²  9, х₁  0, х₂  0.

42. 2х₁² + 3х₂²  60, х₂ – х₁  0, х₂ + 3 х₁ 0.

43. 2х₁² + 3х₂²  80, 3х₁² + 2х₂²  80, х₁  0, х₂  0.

44. х₁ - х₂  0, 4х₁ - 3 х₂+ 1 0, 2х₁ - х₂- 1 0.

45. х₂ 5 + 3/ х₁ – 5, 2х₂ - х₁ 0, х₂ - 2х₁ 0.

46. х₂ 5 + 3/ х₁ – 5, х₁² + х₂²  20.

47. х₁² - 5х₁ + х₂²  0, х₂ + 2х₁- 10  0, х₁ 3.

48. х₁² - 10х₁ + х₂²  0, х₂ - 3х₁  0, 3х₁+ х₂- 30  0.

49. х₁² + х₂²  100, х₁- 2х₂+ 10  0, 3х₁- х₂- 18  0.

50. 4х₁² + 9х₂²  36, х₁² + х₂²  12