4.3. Матрицы жесткости и векторы нагрузки некоторых простейших конечных элементов в локальной системе координат
ФЕРМЕННЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Ф
ерменный
КЭ применяется для моделирования
прямолинейных стержней конструкции,
работающих на растяжение-сжатие (рис.
4.5). Обозначения: 1; 2 - локальные номера
узлов КЭ;
- локальная ось,
- узловые перемещения КЭ в локальной
системе координат. Будем считать, что
в пределах КЭ погонная нагрузка
,
продольная жесткость
.
Представим перемещение
произвольной точки КЭ в виде линейной
функции локальной координаты
:
.
Постоянные
определяются из условий:
.
Это дает систему уравнений
,
из которой следует:
.
Подставляя
в выражение для
,
получаем
.
(4.3.1)
Здесь
.
Функции распределения
имеют вид:
.
Перейдем к определению полной потенциальной энергии КЭ.
.
(4.3.2)
Продольную силу можно связать с перемещением зависимостью
,
с учетом чего выражение (4.3.2) примет вид
.
Для элемента, находящегося в равновесии, справедливо вариационное уравнение Лагранжа
.
(4.3.3)
Примем во внимание аппроксимацию
(4.3.1):
.
Подставляя эти выражения в (4.3.3), получаем
.
Отсюда при
следует матричное уравнение
,
где
- соответственно матрица жесткости и
вектор нагрузки КЭ. Получим окончательные
выражения для вычисления
и
:
БАЛОЧНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Б
алочный
КЭ (рис. 4.6) применяется для моделирования
стержней конструкции, находящихся в
состоянии поперечного изгиба. Для
воспроизведения такого состояния в
качестве узловых перемещений КЭ
принимаются прогибы
и углы поворота
его узлов. Будем считать, что в пределах
КЭ погонная нагрузка
,
жесткость на изгиб
и справедлива гипотеза прямых нормалей,
согласно которой
.
Представим прогиб
в пределах элемента в виде:
.
Постоянные
,
определяются из условий:
что приводит к системе уравнений
Из этой системы следует:
Подставляя
в выражение для
,
получаем
Здесь
- функции распределения:
Полная потенциальная энергия балочного КЭ определяется выражением
.
Изгибающий момент
в
каждой точке элемента пропорционален
кривизне
.
С учетом этого получаем
.
В состоянии равновесия конечного
элемента
.
Необходимое условие этого записывается
в виде вариационного уравнения Лагранжа
.
(4.3.5)
Согласно (4.3.4) имеем:
С учетом этого уравнение (4.3.5) принимает
вид
.
Отсюда при следует матричное уравнение равновесия обобщенных внутренних (в левой части) и внешних (в правой части) узловых сил конечного элемента
,
где
- соответственно матрица жесткости и
вектор нагрузки данного элемента.
Получим выражения для вычисления матрицы и вектора :
После нахождения определенных интегралов окончательно имеем:
Положительные направления внешних
узловых сил
в векторе
совпадают с положительными направлениями
соответствующих узловых перемещений
КЭ (рис. 4.6).
РАМНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Р
амный
КЭ (рис. 4.7) применяется для моделирования
стержней конструкции, находящихся в
состоянии растяжения-сжатия и поперечного
изгиба. Для воспроизведения такого
состояния в качестве узловых перемещений
рамного КЭ принимаются продольные
перемещения
прогибы
и углы поворота (обобщенные перемещения)
его узлов. Порядок следования данных
перемещений определяется вектором
.
Считается, что в пределах элемента
погонные нагрузки
и жесткости
постоянны по его длине.
От перемещений
в поперечных сечениях элемента возникает
только продольная сила
,
от
,
- только поперечная сила
и изгибающий момент
.
Таким образом, состояния растяжения-сжатия
и поперечного изгиба элемента являются
независимыми. Это дает возможность
сформировать матрицу жесткости
рамного КЭ из коэффициентов жесткости
рассмотренных ранее ферменного и
балочного элементов (расположение этих
коэффициентов соответствует порядку
следования узловых перемещений в векторе
,
как показано сверху и справа от матрицы
):
.
Аналогично формируется вектор нагрузки рамного КЭ:
.
Положительные направления и порядок следования внешних узловых сил в векторе совпадают с положительными направлениями и порядком соответствующих узловых перемещений КЭ (рис. 4.7).
ТРЕУГОЛЬНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ
СОСТОЯНИИ
Треугольный КЭ при плоском напряженном
состоянии (ПНС) (рис. 4.8) используется
для моделирования пластин, нагруженных
в их плоскости, а также безмоментных
оболочек. Считается, что в пределах
элемента поверхностные силы
и толщина
имеют постоянные значения.
Представим перемещение
произвольной точки элемента в виде
.
Постоянные
определяются из условий:
.
Это дает систему уравнений
Для решения данной системы используем определители:
Отсюда получаем
Здесь
- площадь элемента (
,
если узлы 1, 2, 3 элемента следуют против
хода часовой стрелки).
Подставляя
в выражение для
,
получаем
Здесь
- функции распределения.
В аналогичном виде (через те же функции
)
можно представить перемещение
:
.
Полученные выражения для перемещений
и
можно записать в виде одного матричного
равенства:
,
(4.3.6)
где
- соответственно матричная функция распределения и вектор узловых перемещений КЭ.
Перейдем к определению полной потенциальной энергии КЭ:
.
(4.3.7)
Здесь
- соответственно матрица-строка и
матрица-столбец с компонентами
деформированного и напряженного
состояний в произвольной точке КЭ.
Векторы
и
связаны физической зависимостью
(обобщенным законом Гука)
,
(4.3.8)
где
- матрица упругих свойств материала,
зависящая от типа материала и его
напряженного состояния. Материал
принимается изотропным, а напряженное
состояние его, как отмечено выше,
считается плоским. В этом случае
.
С учетом (4.3.8) и постоянства
выражение (4.3.7) можно представить в виде
.
Деформации
определяются через перемещения
:
.
Оператор
при плоском напряженном состоянии имеет
вид
.
Для перехода от перемещений
к узловым перемещениям
конечного элемента воспользуемся
аппроксимацией (4.3.6):
.
Таким образом, полная потенциальная энергия в конечном итоге представляется как функция узловых перемещений КЭ:
.
Отсюда получаем вариационное уравнение Лагранжа
,
из которого следует матричное уравнение равновесия внутренних и внешних узловых сил конечного элемента
,
где
- соответственно матрица жесткости и
вектор нагрузки данного элемента:
Определим матрицу
:
Отсюда видно, что матрица в пределах элемента постоянна. С учетом этого выражение для вычисления матрицы окончательно будет таким:
.
Найдем вектор
Функции
линейно зависят от координат
и обладают свойствами: в узле 1
в узле 2
в узле 3
.
Определенные интегралы
вычисляются исходя из их геометрического
смысла: каждый интеграл
- есть объем пирамиды с единичной
высотой и основанием
(рис. 4.9). Отсюда
.
С учетом этого получаем окончательное
выражение для вычисления вектора
