32.Чистый сдвиг. Напряжения и деформации при чистом сдвиге. Закон Гука при сдвиге.

Чистый сдвиг (ЧС) – это напряжен­ное состояние, при котором на гра­нях выделенного из тела элемента возникают только касательные на­пряжения  (см. рисунок 9.1,а). Одно­родный ЧС имеет место при кручении тонкостенной трубки ( см. рисунок 9.2).

        

Можно доказать, что если из элемента, находящегося в условиях ЧС, вырезать элемент с гранями, накло­ненными под углами в 45º к исходным граням, то на них ка­сательных напряжений не будет, а будут иметь место только нормальные напряжения (см. рисунок 9.1,б). При этом на одной паре противоположных граней напряжения являются растя­гивающими (σ’=), на другой – сжимающими (σ”=).

         Как отмечалось ранее, касательные напряжения  свя­заны с угловой деформацией γ законом Гука

=G∙γ.                                              (9.1)

         Можно доказать, что при чистом сдвиге стороны элемента не изменяют своей длины при деформировании, изменение объема также равно нулю.

         Аналогично испытаниям материала на растяжение и сжатие, проводят испытание на ЧС тонкостенной трубки, закручиваемой моментами. В результате получают условную диаграмму сдвига в координатах  и γ, которая имеет сходство с диаграммой растяжения, при этом для пластичных металлов предел текучести _т=(0,5…0,55)σ_т.

         Напряженное состояние, близкое к ЧС, возникает в заклепках, болтах (устанавливаемых без зазора), шпонках, шлицах, сварных швах.

33.Кручение стержня с круглым поперечным сечением. Напряжения в по­перечных сечениях. Угол закручивания.

Стержень испытывает кручение, если в его поперечных сечениях возникают крутящие моменты, т. е. моменты, лежащие в пло­скости сечения. Обычно эти крутящие моменты Т_к возникают под действием внешних моментов Т {рис. V.1). Внешние моменты передаются на вал, как правило, в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т. п.

Под кручением понимается такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только крутящий момент М_кр, а остальные ВСФ равны нулю. Кручение обычно возникает при нагружении стержня парами сил (скручивающими моментами), плоскости действия которых перпендикулярны продольной оси стержня. Эпюру крутящего момента строят с использованием метода сечений, при этом М_кр равен сумме моментов относительно продольной оси стержня всех пар сил, расположенн ых по одну сторону от рассматриваемого сечения

М_кр =∑M_i.                                                      (9.2)

Правило знаков: если наблюда­тель со стороны внешней нормали к сечению видит момент М_кр направленным против часовой стрелке, то он считается положительным, иначе - отрицательным. Внешние моменты в (9.2) должны браться с проти­воположным правилом. На рисунке 9.3 показан пример построения эпюры М_кр.

При расчете стержня (вала) обычно требуется определить напряжения и угловые перемеще­ния в зависи­мости от ве­личин внешних моментов. Методами СМ можно получить решение только для стрежня кругового или коль­цевого     поперечного сечения (будем рас­сматривать только этот слу­чай) и для тонкостенных стерж­ней.

В случае кручения стержня с круговым попереч­ным сечением бу­дем считать, что ка­ждое по­перечное се­чение стержня по­ворачивается в своей плоскости на некото­рый угол как жесткое целое (ги­потеза пло­ских сечений).

Рассмотрим стержень с круговым по­перечным се­чением, нагруженный по концам моментами M (см. рисунок 9.4,а). В его поперечных се­чениях возникает постоянный крутящий момент М_кр=M. Двумя поперечными сечениями, выделим из стержня элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилин­дрическими поверхностями с радиусами  и ( + d) –э лементар­ное кольцо, показанное на рисунке 9.4,в. В результате кручения правое тор­цевое се­чение кольца повернется на угол d. При этом образующая цилиндра АВ по­вернется на угол  и займет положение АВ . Дуга BВ  равна с одной сто­роны,  ∙d, а с другой стороны   ∙dz. Следовательно,

.                                 (9.3)

Угол  представляет со­бой угол сдвига цилиндрической поверх­ности под действием касательных напряжений . Величину

                                                       (9.4)

называют относительным углом закручивания. Это угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к рас­стоя­нию между ними.

Из рассмотрения (9.3) и (9.4) получим

 = ∙θ.                                               (9.5)

По закону Гука для сдвига

τ=G ∙∙θ                                               (9.6)

где   касательные напряжения в поперечном сечении стержня. Пар­ные им напряжения возникают в продольных плоскостях  (см. рисунок 9.4 г).       

Очевидна (см. рисунок 9.5) зависимость . С учетом (9.6) по­лучаем . Интеграл  представляет собой чисто геометриче­скую характеристику и называется полярным моментом инерции сечения

.                                               (9.7)

Т.о., получаем  или

 .                                              (9.8)

Величину называют жесткостью стержня при кручении.

Из (9.8) с учетом (9.4) получим

         .                                              (9.9)

Если М_кр и по длине стержня пос­тоянны, то из (9.9) найдем

                   .                                             (9.10)

Подставляя (9.8) в (9.6) получим выражение для напряжений

.                                             (9.11)

Т.о., касательные напряжения распределены вдоль радиуса по линей­ному закону и  имеют максимальное значение в точках, наиболее удаленных от центра. При этом

 или .                            (9.12)

Величина

                                                 (9.13)

называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения стержня. Формулы (9.10), (9.12) справедливы для кругового и кольцевого се­чений.

Полярный момент инерции для круглого сечения найдем из (9.7), учи­тывая, что элементарная площадь пояска dA=2π∙ρ∙dρ (см. рисунок 9.4). Имеем

 или .                 (9.14)

Полярный момент сопротивления для круглого сечения 

  .                                            (9.15)

Для кольцевого сечения (с наружным D и внутренним d диаметрами) имеем

.                                  (9.16)

.                    (9.17)

Условие прочности и условие жесткости при кручении имеют вид

,                                          (9.18)

 или                            (9.19)

где [τ], [φ], [θ] – допускаемое касательное напряжение, допускаемый полный и допускаемый относительный углы закручивания соответственно.