28.Напряженное и деформированное состояния при растяжении. Коэффи­циент Пуассона.

Рассмотрим напряжения в наклонных сече­ниях стержня, составляющих угол α с поперечным сечением (см. рисунок 8.5,а). Если площадь поперечного сечения равна A, то площадь наклонного сечения равна A/cosα.

На рисунке 8.5,б видно, что p∙A_α = F и F=σ∙A, поэтому

                                      р = F/ A_α = σ∙cosα.                                         (8.15)

Разложим р на составляющие σ_α и τ_α ( см. рисунок 8.5 в). Получаем

 σ_α= р∙cosα = σ∙cos²α,                   (8.16)

 τ_α= р∙sinα = σ∙sin2α.                (8.17)

Отсюда имеем:

а) при α=0 получаем σ_α= σ_, τ_α=0;

б) при α=90ْ (в продольных сечениях) σ_α= 0_, τ_α=0, т.е., продольные слои не имеют силового взаимодействия;

в) при α=45ْ  напряжение τ имеет наибольшее значение  τ_max= σ/2;

г) для сечений с углом α и (α+90ْ) абсолютная величина τ одна и та же; это закон парности касательных напряжений, который выполняется всегда.

Рассмотрим деформации при растяжении. Опыт показывает, что в определенных пределах продольное удлинение стержня (см. рисунок 8.6) сопровождается поперечным сужением. Поперечная деформация ε ´=∆а/а и

ε´=- µ∙ε                        (8.18)

где µ - коэффициент поперечной деформации (Пуассона); значения µ для металлов лежат в пределах 0,25… 0,35.

         В стрежне возникают также угловые деформации γ_α (см. рисунок 8.7). Можно доказать, что угол сдвига γ_α пропорционален напряжению τ_α на соответствующей площадке. Это - закон Гука для сдвига

τ=G∙γ                      (8.19)

         где G – модуль сдвига или модуль упругости II рода.

         Между параметрами упругости материала Е, G и µ имеется взаимосвя зь

.     

31.Условие прочности при растяжении-сжатии. Допускаемое (безопасное) напряжение. Нормативный и фактический коэффициент запаса прочно­сти. Три вида расчетов на прочность при растяжении-сжатии.

Наиболее распространенным является метод расчета на прочность по напряжениям. Согласно этому методу расчет ведется по наибольшему напряжению, возникающему в конструкции, которое не должно превышать предельной для материала величины, σ_max<σ_пред, при этом необходимо предусмотреть некоторый запас прочности, так что должно выполняться условие прочности

σ_max≤[σ].                                                  (8.21)

Здесь [σ] – допускаемое напряжение, которое определяется как некоторая часть от предельного напряжения,

                                             (8.22)

где [n] – нормативное значение запаса прочности, назначаемое в зависимости от степени ответственности конструкции, точности расчетной схемы, опыта проектирования и условий работы конструкции. При этом [n] всегда >1,0 и его значения для различных элементов конструкций приводятся в нормативных документах.

В качестве σ_пред для элементов конструкций, изготовленных из пластичных материалов обычно принимают σ_тр (для испытывающих растяжение) или σ_тс (для испытывающих растяжение) для того, чтобы избежать образования заметных остаточных деформаций в конструкции. Для хрупких, а в некоторых случаях и для умеренно пластичных материалов качестве σ_пред принимают σ_вр или σ_вс при растяжении или сжатии соответственно.

Другая форма условия прочности по этому же методу

n≥[n]                                                    (8.23)

где n – фактический (расчетный) запас прочности, определяемый как n=σ_пред/ σ_max.

Т.о., при растяжении-сжатии условие прочности (8.21) принимает вид

.                                          (8.24)

Пользуясь этим условием, можно решать:

а) задачи проверочного расчета. Здесь по заданным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня определяют фактические напряжения  и сравнивают их с допускаемыми, т.е., непосредственно проверяют выполнение условия (8.24). Перенапряжение недопустимо с точки зрения обеспечения прочности, а недонапряжение ведет к перерасходу материала;

б) задачи проектного расчета. По известным нагрузке и допускаемому напряжению определяют размеры поперечных сечений стержней, требуемые по условию прочности

;                                                 (8.25)

в) задачи определения предельной грузоподъемности (несущей способности). Здесь по заданным размерам поперечного сечения стержня и известному допускаемому напряжению определяют допускаемую продольную силу

,                                              (8.26)

после чего, установив связь между продольной силой и нагрузкой (с помощью уравнений статики), можно определить допускаемую нагрузку.

Следует иметь в виду, что сжатые стержни, кроме расчета на прочность, должны также рассчитываться на устойчивость, т.к. при определенном значении сжимающей силы может произойти выпучивание (потеря устойчивости) стержня.

Отметим также, что критерий прочности, принятый в методе допускаемых напряжений (напряжения в точке), не всегда характеризует условие наступления разрушения конструкции. В ряде случаев за такой критерий правильнее принимать предельную нагрузку, которую может выдержать система, не разрушаясь и не изменяя существенно свою форму.