26.Растяжение и сжатие стержней. Продольные силы и нормальные напря­жения при растяжении-сжатии.

Продольная сила и нормальные н апряжения

Растяжение - вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только нормальная сила N, а все остальные ВСФ равны нулю. При растяжении направление N совпадает с направлением внешней нормали к рассматриваемому сечению. Сжатие формально отличается от растяжения только направлением N, хотя имеются и существенные отличия (сжатие длинных стержней сопровождается изгибом, характер разрушения при растяжении и сжатии различен). Обычно растяжение или сжатие возникает при нагружении стержня осевыми силами. Эпюру N строят с использованием метода сечений, при этом N  равна сумме проекций на продольную ось всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения

N = ∑F_iz.                                            (8.1)

Растягивающую силу  N считают положительной, сжи­мающую – отрица­тельной. Тогда проекция внешней силы в (8.1) должна браться со знаком «+», если сила направлена от сечения, и со зна­ком «-», если направлена к сече­нию. На рисунке 8.1 показан пример построения эпюры N.

Зависимость между нормальной силой и напряжениями этом сечении

  где σ – нормальное напряжение в произвольной точке сечения, принадлежащей малой площадке dA;

A – площадь поперечного сечения.

Из схемы деформирования стержня на рисунке 8.2 можно прийти к выводу, что напряжения во всех точках поперечного сечения одинаковы, так что

 откуда                         Нормальное напряжение считается поло­жительным при растяжении и отрицательным при сжатии. В рассматриваемом примере имеем однородное напряженное состояние – во всех точках стержня напряженное состояние одно и то же. Если стержень имеет переменное сечение (см. рисунок 8.3), то при таком же нагружении напряженное состояние не будет однородным.

27.Удлинения стержня и закон Гука при растяжении и сжатии. Модуль Юн­га. Температурные деформации.

Размеры растянутого стержня меняются в зависимости от приложенных сил. Так, стержень на рисунке 8.2 удлиняется на величину ∆l, называемую абсолютным (полным) удлинением стержня. Т.к. здесь имеет место однородное напряженное состояние, то и линейная деформация (т.н. относительное удлинение) во всех точках одинакова и равна

.                           (8.4)

         

В случае неоднородного напряжен­ного состояния (см. рисунок 8.3)

.                       (8.5)

В пределах малых ε для большинства материалов справедлив закон Гука (линейная зависимость между σ  и ε)

σ=Е∙ε                                                     (8.6)

где E – модуль Юнга (модуль упругости I рода); определяется экспериментально.        

Из (8.5) с учетом (8.3) и (8.4), получим после интегрирования

                                .                                                    (8.7)

         Для стержня, имеющего постоянное сечение и нагруженного по концам силами F, имеем N=F=const, и абсолютное удлинение равно

                                .                                               (8.8)

         Здесь E∙А - жесткость стержня при растяжении-сжатии

Если наряду с упругими деформациями нужно учитывать температурные деформации, то суммарная деформация определяется, как

                                            (8.9)

         где α – коэффициент температурного расширения материала;

         ∆t – приращение температуры.

При статическом нагружении стержня работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации U, которая при справедливости закона Гука записывается как  

_.                                            (8.10)

В случае стержня постоянного сечения, изготовленного из однородного материала и нагруженного силами по концам, имеем