39)Напряжения при чистом изгибе. Условие прочности при чистом изгибе.

Д ля обеспечения прочности балки необходимо, чтобы наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения при изгибе в опасном сечении, т. е. в сечении, где М имеет наибольшее значение, не превосходили соответствующих допускаемых напряжений (рассматриваются только балки с постоянным по всей длине поперечным сечением). Обозначим h_t – расстояние до наиболее удаленного от нейтральной оси растянутого волокна, h_c — расстояние до наиболее сжатого волокна. Тогда наибольшее растягивающее напряжение при изгибе max σ_t =Mh_t/I_x ; наибольшее сжимающее напряжение (взятое по абсолютному значению) max σ_с =Mh_с/I_x. Для хрупких материалов (например, чугуна) допускаемые напряжения на растяжение и сжатие различны: [σ_с] в 3—5 раз больше [σ_t], поэтому для балок из таких материалов обычно применяют сечения, не симметричные относительно нейтральной оси. При этом сечение располагают таким образом, чтобы h_t<h_с , т. е. чтобы обеспечивалось неравенство mах σ_t<mах σ_с. В указанных случаях надо составлять два условия прочности: по наибольшим растягивающим напряжениям max σ_t =Mh_t/I_x=M/W_xt ≤[σ_t] ; по наибольшим сжимающим напряжениям max σ_с =Mh_с/I_x =M/W_xc ≤[σ_с], где W_xt и W_xc — моменты сопротивления растянутого и сжатого волокон. В формулы надо подставлять наибольшее (по абсолютному значению) значение М. Если сечение балки симметрично относительно нейтральной оси (такие сечения целесообразно применять для балок из пластичных материалов), т. е. ht=hc=h/2, то вместо двух формул получим одну σ=(M/Ix)(h/2). Обозначив W_x=2I_x/h, получим при одинаковых допускаемых напряжениях на растяжение и сжатие [σ], следующее условие прочности: σ=M/W_x≤[σ]. Величина W_x называется осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе. Момент сопротивления является геометрической характеристикой поперечного сечения балки определяющей ее прочность при изгибе. Нормальные напряжения при изгибе изменяются по высоте поперечного сечения балки пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести сечения. Кривизна оси балки при изгибе пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна величине ЕI_x, называемой жесткостью балки.

При чистом изгибе имеем Q=0, M=const. Под действием M стержень изгибается. В случае однородного стержня изменение кривизны всех участков одинаково. При этом справедлива гипотеза плоских сечений: поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные недеформированной оси стержня до нагружения, остаются плоскими и перпендикулярными деформированной оси стержня после нагружения. Тогда деформации при чистом изгибе можно рассматривать как результат поворота поперечных сечений друг относительно друга (см. рисунок 11.1). Рассмотрим два сечения, расположенных на расстоянии dz друг от друга. В результате поворота правого сечения относительно левого на угол dθ верхние слои удлинятся, нижние укоротятся. Существует слой, в котором удлинения отсутствуют – это нейтральный слой CD. Между радиусом кривизны нейтрального слоя ρ, углом dθ и  длиной  dz существует зависимость dz= ρ∙dθ. Деформация произвольно взятого отрезка AB длиной dz равна

.                                 (11.1)

         Согласно закону Гука

.                                       (11.2)

         Т.о., при чистом изгибе напряжения распределяются в поперечном сечении по линейному закону. Нейтральная линия (НЛ) – это геометрическое место точек, в которых σ=0; о чевидно, она перпендикулярна плоскости кривизны изогнутого стержня.

Т.к.  при чистом изгибе, то , т.е. НЛ проходит через центр тяжести поперечного сечения. Мы рассматриваем частный случай изгиба, при котором изогнутая ось стержня лежит в плоскости действия момента M . Тогда

,                    (11.3)

.                    (11.4)

         Из (11.4) следует, что ₉ , т.е., изменение кривизны стрежня в плоскости M имеет место тогда, когда плоскость M проходит через одну из главных осей инерции сечения. Такой изгиб называется прямым в отличие от косого, при котором плоскость M и плоскость кривизны стержня не совпадают.

         Из (11.3) получаем выражение для кривизны стержня

.                                                 (11.5)

         Здесь  - момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента. Величина  называется жесткостью стержня при изгибе.

         Подставляя (11.5) в (11.2), получаем выражение для напряжения σ

.                                                (11.6)

Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии

                                             (11.7)

         где  - момент сопротивления сечения изгибу.          

Условие прочности при чистом изгибе имеет вид

                                           (11.8)

где - допускаемое напряжение.

Отметим, что в случае материала с тержня, неодинаково сопротивляющегося р астяжению и сжатию, бывает необходимым выполнять расчет на прочность как по максимальным растягивающим, так и по максимальным сжимающим напряжениям. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых при одинаковой площади получаются наибольшие значения - это, например, стандартные прокатные профили типа двутавров, швеллеров (см. рисунок 11.2) и др.