35.Геометрические характеристики поперечных сечений. Статические мо­менты и центр тяжести сечения.

Рассмотрим некоторую плоскую фигуру в системе ко­ординат x, y (см. рисунок 10.1). И нтегралы  

         ,               (  10.1)

называются статическими моментами фигуры относительно оси x и оси y соответственно.

Выясним, как изменяются статические моменты сечения при параллельном переносе координатных осей (см. рисунок 10.2). Очевидно, что x = x₁ - a; y = y₁ - b.                    

Тогда

,

.

Величины а и b можно подобрать (причем единственным обра­зом) так, чтобы статиче­ские моменты и были равны нулю. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка пересечения централь­ных осей называется центром тяжести сечения.

В системе координат (x₁, y₁) к оординаты центра тяжести равны

 

         ,    .         (10.2)

Отметим, что статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.

10.2 Моменты инерции сечения

Возвращаясь к рисунку 10.1, рассмотрим три интеграла

         ,                                              (10.3)

,                                               (10.4)

.                                           (10.5)

Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y соответственно, третий  центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y. Осевые моменты всегда положительны, центробежный может быть как положительным, так и отрицательным.

При параллельном переносе координатных осей (см. рисунок 10.2) моменты инерции изменяются в соответствии с формулами

,                                        (10.6)

,                                        (10.7)

 .                      (10.8)

Если x₁ и y₁ - цен­тральные, то  и

,                                             (10.9)

,                                           (10.10)

   .                                   (10.11)

Т.о., при параллельном переносе осей в случае, когда одна из осей – центральная, осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между осями. При этом  в семействе параллельных осей момент инерции относительно центральной оси минимален.

36.Моменты инерции сечения. Главные оси и главные моменты инерции.

Главные оси и главные моменты инерции

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сече­ния при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рисунка 10.4 легко установить, что

u = y∙ sin  + x ∙ cos ;     v = y∙  cos   x∙  sin  .                   (10.13)

Из выражений

,                 ,                                               

с учетом (10.13) после несложных преобразований получим

,      (10.14)

,      (10.15)

.               (10.16)

Складывая первые два уравнения, получаем

 (10.17)                   

Т.о., сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей постоянна и равна полярному моменту инерции плоской фигуры.

С помощью (10.17) несложно определить осевой момент инерции кругового сечения относительно диаметра. Т.к.  ввиду симметрии, то

      Т.к. с изменением угла  значения  и . изменяются, а их сумма остается постоянной, то существует такое значение =₀, при котором один из моментов  или достигает своего максимального значения, другой – минимального. Значение ₀  найдем, исследуя на экстремум  или . Найдем

.                                         

Оказывается, что при =₀  одновременно центробежный момент инерции  обращается в нуль. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые мо­менты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относи­тельно главных осей называются главными мо­ментами инерции. Они определяются с использованием (10.14), (10.15) и (10.19) как

         .                      Радиусом инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси l называют величину, определяемую как           

.                                                (10.21)