Задание №1.

Решение задачи линейного программирования графическим методом.

–3x₁ + 14x₂ ≤ 78,

5x₁ – 6x₂ ≤ 26,

x₁ + 4x₂ ≥ 26;

f = 5x₁ + 7x₂ → extr

Решение:

Решим задачу графическим методом.

l₁: -3x₁ + 14x₂ = 78

x1	2	16
x2	6	9

l₂: 5x₁ –6x₂ = 26

x1	10	4
x2	4	-1

l₃: x₁ + 4x₂ = 26

x1	2	6
x2	6	5

Построим вектор и линию уровня 5x₁ +7x₂ = 0. Передвигаем линию уровня в направлении вектора .

В вершине А получаем наибольшее значение f. Вершина А – это точка пересечения прямых l₁ и l₂.

А (16; 9)

f_max = f(16; 9)= 5*16 + 7*9=143

Передвигаем линию уровня в направлении, противоположном направлению вектора .

В вершине С получаем наименьшее значение f. Вершина С – это точка пересечения прямых l₁ и l₃.

С (2; 6)

f_min = f(2; 6)= 5*2 + 7*6=52

Ответ: f_max =143, f_min =52

Задание № 2.

Решение задачи линейного программирования (MS EXCEL)

Используя средства Excel решить задачу оптимального использования ресурсов на максимум общей стоимости. Ресурсы сырья, норма его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы в соответствующей таблице.

Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.

Ресурсы	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции			Запасы
	I вид	II вид	III вид
Труд	1	4	3	200
Сырье	1	1	2	80
Оборудование	1	1	2	140
Цена	40	60	80

В каждой задаче требуется:

1. Определить план выпуска продукции из условия максимиза­ции его стоимости;

2. Определите ценность каждого ресурса (двойственные оценки) и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов;

3. Определите суммарную стоимостную оценку ресурсов, ис­пользуемых при производстве единицы каждого изделия. Выпуск какой продукции нерентабелен;

4. На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принудительном выпуске единицы нерентабельной про­дукции;

5. Определить, как изменится общая стоимость продукции и план выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

6. Определить целесообразность включения в план изделия четвертого вида на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов ценой 70 ед.

Решение:

1) Определим план выпуска продукции из условия максимиза­ции его стоимости.

Для решения задачи введём обозначения:

единиц продукции I вида, единиц продукции II вид, единиц продукции III вида.

Составим целевую функцию – она заключается в общей прибыли.

Определим имеющиеся ограничения:

1)

2)

3)

Кроме того, так как количество продукции не может быть отрицательным, добавим ещё ограничения:

1)

2)

3)

Таким образом, система ограничений:

Приступаем к решению задачи на компьютере.

В ячейки А2:А4 введём числа 200; 80; 140. В ячейки С1, D1, Е1 занесём начальные значения неизвестных , и (нули) – в дальнейшем эти значения будут подобраны автоматически.

В ячейках С2:Е4 разместим коэффициенты при неизвестных , и из первых трёх неравенств системы ограничений.

В ячейку В2 введём формулу

=СУММПРОИЗВ($C$1:$E$1;C2:E2)и скопируем её в диапазон ячеек В3:В4.

В ячейку F1 занесём формулу целевой функции

=40*C1+60*D1+80*E1.

Вводим команду Данные►Поиск решения – откроется диалоговое окно Поиск решения.

В поле Установить целевую ячейку мышью укажем ячейку, содержащую оптимизируемое значение (F1). Установим переключатель Равной в положение максимальному значению (так как требуется найти максимальное значение целевой функции)

В поле изменяя ячейки мышью зададим диапазон подбираемых параметров – С1:Е1.

Чтобы определить набор ограничений, щёлкнем на кнопке Добавить. В диалоговом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку мышью укажем диапазон В2:В4, в качестве условия зададим <=. В поле ограничение мышью зададим диапазон А2:А4. Щёлкнем на кнопке ОК.

Снова щёлкаем на кнопке Добавить. В поле ссылка на ячейку укажем диапазон C1:Е1. В качестве условия зададим >=. В поле Ограничение зададим число 0. Это показывает, что количество произведённой продукции не может быть отрицательным. Щёлкнем на кнопке ОК.

Щёлкнем на кнопке выполнить. По завершении оптимизации откроется диалоговое окно Результаты поиска решения. Установим переключатель Значения параметров в положение Сохранить найденное решение, после чего Щёлкнем на кнопке ОК.

В результате получится оптимальный набор переменных: 40 единицы продукции I вида, 40 единиц продукции II вида. При этом общая прибыль будет максимальной и равной 4000 денежных единиц.