2. Однородные уравнения.

Определение. Однородным уравнением называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде:

.

Можно предложить следующий метод его решения. Неизвестную функцию будем искать в виде , где - неизвестная функция. Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

.

Данное уравнение представим в виде

.

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными для функции . Метод его решения рассмотрен ранее.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Данное уравнение является однородным. Будем искать неизвестную функцию в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

.

Полученное уравнение преобразуем к виду

.

Разделяем переменные

.

Интегрируем правую и левую части

+ .

(В нашем случае произвольную постоянную удобнее обозначить не С, а , где . Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем

.

Потенцируя, имеем

.

Избавляясь от знака модуля, получаем

.

Поскольку , то полученное соотношение может быть представлено в виде

.

Заметим, что в уравнении , выражение при , . Следовательно, функции и являются решениями дифференциального уравнения для неизвестной функции , а значит, функции и являются решениями исходного дифференциального уравнения.

Решение содержится в решении , если положить С=0.

Ответ: , , где С – произвольная постоянная.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Поскольку данное уравнение является однородным, то неизвестную функцию будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

.

Полученное уравнение преобразуем к виду

Разделяем переменные

Интегрируем правую и левую части

.

Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем

.

Поскольку , то полученное соотношение может быть представлено в виде

.

Ответ: , где С – произвольная постоянная.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Данное уравнение является однородным. Будем искать неизвестную функцию в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

.

Данное уравнение преобразуем к виду

.

Поскольку правая часть не равна нулю ни при каких значениях , то, разделяя переменные, получаем

.

Интегрируя, имеем

+С.

Приведем схему нахождения интеграла

.

После вычисления интегралов получаем

.

Поскольку , то выражение записываем в виде

.

Ответ: .

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое может быть записано в виде

,

где Р(х) и Q(х) – известные функции.

Можно предложить следующий метод решения этого уравнения. Неизвестную функцию y(x) будем искать в виде , где неизвестная функция, а - некоторая функция, выбранная специальным образом. (Способ выбора будет описан позже). Производная равна: . Подставляя и в исходное уравнение, получаем

+ .

Полученное уравнение преобразуем к виду

.

Подберем функцию так, чтобы было выполнено: .

(Это уравнение для определения функции является уравнением с разделяющимися переменными и нас интересует не его общее решение, а какое-либо частное решение не равное тождественно нулю). Тогда для определения имеем уравнение . Из этого уравнения при известной функции находим :

= ,

где С – произвольная постоянная.

Тогда общее решение имеет вид:

Пример. Найти решение задачи Коши:

, .

Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем: + ; .

Выберем функцию из условия . Уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; .

Найдем функцию : ; ; ; .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Произвольную постоянную С определим из условия :

; .

Ответ: .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем: ; .

Выберем функцию из условия . Уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; .

Найдем функцию : ; ; ; .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Ответ:

Пример. Найти решение задачи Коши

, .

Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

; .

Выберем функцию из условия . Уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; , .

Найдем функцию :

; ; .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Определим произвольную постоянную С.

Так как , то имеем ,

Ответ: