
- •Московский государственный университет приборостроения и информатики
- •Кафедра высшей математики дифференциальные уравнения
- •Москва 2005
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения первого прядка.
- •1.Уравнения с разделяющимися переменными.
- •2. Однородные уравнения.
- •3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •4. Уравнение Бернулли.
- •Часть 2. Уравнения высших порядков допускающие понижение порядка.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Московский государственный университет приборостроения и информатики
Кафедра высшей математики дифференциальные уравнения
(решение задач)
Учебное пособие для студентов всех форм обучения для самостоятельной подготовки к выполнению контрольных работ.
Москва 2005
Излагаются основные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Пособие является частью пособия для заочного отделения (автор Антонова И.И., МГУПИ), содержащей уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли, некоторые уравнения высших порядков.
Часть 1. Дифференциальные уравнения первого прядка.
Прежде чем перейти к решению конкретных типов задач, напомним некоторые общие положения, касающиеся дифференциальных уравнений первого порядка.
Дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется соотношение вида
.
Частным
решением дифференциального уравнения
называется любая функция
,
при подстановке которой в дифференциальное
уравнение, оно превращается в тождество.
Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называется задача отыскания решения дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего
условиям,
при
.
Известно,
что если в некоторой области функция
непрерывна вместе со своей частной
производной
,
то в этой области задача Коши имеет
решение и при том единственное.
Общим
решением дифференциального уравнения
первого порядка в некоторой области
называется совокупность функций
(С – произвольная постоянная),
удовлетворяющая двум условиям:
1.При любом значении произвольной постоянной С функция является частным решением дифференциального уравнения;
2.
Для любых начальных условий задачи Коши
при
найдется значение произвольной постоянной
,
такое что
.
Если
общее решение
неявно определятся соотношением вида
,
то такое соотношение называется общим
интегралом дифференциального уравнения
первого порядка. Далее рассмотрим методы
решения тех классов дифференциальных
уравнений первого порядка, которые
представлены в контрольной работе.
1.Уравнения с разделяющимися переменными.
Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, которое может быть записано в виде:
.
Можно предложить следующую схему решения этого уравнения. Разделяем переменные, то есть уравнение переписываем в виде:
.
Интегрируя левую и правую части этого уравнения, получаем:
,
где С – произвольная постоянная.
Полученное соотношение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.
Замечание.
Если функция
равна нулю в точках
,
то функции
,
,….,
являются решениями исходного уравнения.
При изложенном методе такие решения
могут быть потеряны, поэтому их
рекомендуется выписать отдельно.
Пример.
Найти общий интеграл дифференциального
уравнения. (Ответ представить в виде
(x,y)=C).
.
Для
того, что бы убедиться, что данное
уравнение действительно является
уравнением с разделяющимися переменными,
выразим
.
Имеем
Тогда
,
.
Заметим, что
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируя правую и левую части, получаем
.
Приведем
схему вычисления интеграла:
=
.
После
вычисления интегралов имеем:
.
Ответ:
.
Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
.
Уравнение запишем в виде
.
Тогда
,
.
Заметим, что
при
.
Следовательно, функция
является решением данного дифференциального
уравнения.
В
случае
разделяем переменные:
.
Интегрируя правую и левую части, получаем
.
Приведем схему вычисления интеграла
После
вычисления интегралов имеем:
,
.
Потенцируя
данное выражение, получаем
.
Отметим, что решение
содержится в полученном выражении
общего решения при С=0.
Ответ: .
Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Тогда
,
.
Заметим, что
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируя правую и левую части, получаем
.
После
вычисления интегралов имеем:
.
Ответ:
.
Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Поясним,
что такая запись подразумевает под
дифференциал независимой переменной,
под
- дифференциал неизвестной функции
(
=
).
Перенесем выражения, содержащие в левую часть уравнения, выражения, содержащие - в правую часть. После некоторых простых преобразований, получаем
.
Разделяем переменные
.
Интегрируя
правую и левую части, получаем
.
Приведем схему нахождения интеграла
.
После вычисления интегралов имеем
.
Потенцируя
полученное выражение, имеем
.
Ответ: .