14.Интегрируемые процессы. Основные виды моделей интегрируемых процессов. Оценка порядка интегрируемости.

С помощью достаточно несложных преобразований часто удается привести наблюдаемый ряд к стационарному процессу.

Примерами таких преобразований являются:

а) взятие конечных разностей

 yt – первая разность. Это преобразование целесообразно использовать, когда закон изменения yt близок к линейному. Если ряд первых разностей является стационарным, то исходный ряд является интегрируемым процессом первого порядка. Если взятие первых разностей не позволило получит стационарный ряд, то повторяем аналогичную процедуру.

 хt – вторая разность. Преобразование применяется, когда закон изменения yt близок к квадратической зависимости и т. д.; Если полученный ряд является стационарным, то исходный ряд является интегрируемым процессом второго порядка.

б) логарифмирование цепных индексов

Применяется при экспоненциальном росте уt, t =1,2,..., Т;

в) расчет темпов прироста

Наиболее простой способ проверки на стационарность – применение интеграционной статистики Дарбина-Уотсона для авторегрессии первого порядка:

Статистика Дарбина-Уотсона имеет вид:

Если временной ряд является нестационарным, т.е. , то IDW=0, если же ряд является стационарным, т.е. , то IDW=2. Утверждение о стационарности не требует подтверждения другими тестами. А вот в случае, если согласно данному тесту ряд является нестационарным необходимы другие тесты для определения порядка интегрируемости. Поскольку распределение IDW не соответствует ни одному из известных теоретических распределений, критически значения будут представлены не единичными значениями, а интервалами прямой в окрестности точки 2. Для выявления нестационарных временных рядов таблица критических значений составляется из отрезков прямой в окрестности точки 0.

Базовый метод для определения порядка интегрируемости был предложен Дики и Фуллером, который получил название тест на единичный корень. Основная идея заключается в проверке гипотезы о стационарности процесса и последовательно его разностей повышающегося порядка. Нулевая гипотеза которого предполагает нестационарность процесса. Тест основан на оценке параметра уравнения . Следовательно, гипотезы выглядят следующим образом:

Отклонение нулевой гипотезы в пользу альтернативной приводит к заключению, что исходный процесс стационарный или интегрируемый нулевого порядка. Поскольку распределение статистики Дики-Фуллера не имеет аналитического представления, в таблицах Дики-Фуллера на порядок интегрируемости представлены эмпирические, а не теоретические значения, поэтому в таблице критических значений указаны верхнее и нижнее пороговые значения. Для проверки временного ряда на порядок интегрируемости рассчитывают значения t-статистики Стьюдента для параметра и сравнивают его с верхним и нижним пороговыми значениями статистики Дики-Фуллера из таблицы. Если значение расчетной статистики Стьюдента меньше, чем нижнее критическое значении для соответствующего числа наблюдений, то нулевая гипотеза о наличии единичного корня отклоняется и принимается гипотеза о стационарности процесса. Если расчетное значение превышает верхнее критическое значение, то нулевая гипотеза верна. В случае, когда расчетное значение попадает в область между верхним и нижним критическими значениями, ничего определённого нельзя сказать.

Если ряд признан нестационарным, то аналогичная процедура проводится для ряда первых разностей и т.д. На практике редко встречаются ряды с порядком интегрируемости выше 2-ого порядка.

Всё множество стационарных процессов в зависимости от вида их автокорреляционной функции можно разбить на несколько однородных групп, каждой из которых соответствуют модели определённого типа. Обычно выделяют 3 типа таких моделей: AR, MA, ARMA.