Після цього формулу (4) перепишемо у вигляді

dx (5)

Щоб визначений інтеграл обчислити з більшою точністю, відрізок [a, b] розділимо на 2n рівних відрізків і застосувавши формулу (5) до кожного відрізка розбиття дістанемо наближену рівність

dx , (6)

де

Формула (6) називається параболічною формулою, або формулою Сімпсона.

Абсолютна похибка в наближені рівності (6) оцінюється за допомогою нерівності

,

де f(x) - неперервна на відрізку [a, b], а M₃ обмежує підінтегральну функцію.

4. Нехай функція f(x) означена на проміжку [a; +) і інтегровна на відрізку [a; b] при всякому a<b, (це матиме місце, наприклад, якщо функція f(x) неперервна на проміжку [a; +)). Тоді визначений інтеграл dx існує при всякому ba і, отже, він є деякою функцією від b:

I(b)= dx

визначеною на проміжку [a; +).

Якщо функція I(b) при b+ має скінченну границю А , то цю границю називають невласним інтегралом1-го роду від функції f(x) на проміжку [a; +) і позначають

.

Таким чином, за означенням

(7)

При цьому вважають також, що невласний інтеграл збігається ( до числа А).

Якщо ж функція I(b)= dx при b+ не має скінченної границі, то символ також називається невласним інтегралом, однак у цьому разі вважають, що цей невласний інтеграл розбігається. Такому невласному інтегралу не приписують ніякого значення. Щоправда, якщо функція I(b)= dx при b+ має нескінчену границю, то іноді вважають, що невласний інтеграл дорівнює нескінченості (розбігається до нескінченості).

Наприклад,

,

і невласний інтеграл, збігається і дорівнює 1 (збігається до 1).

Якщо функція f(x) неперервна і невід’ємна на проміжку [a; +) і невласний інтеграл існує (збігається), то величина цього невласного інтеграла береться за означенням за площу фігури, обмеженої кривою y=f(x), прямою x=a і проміжком [a; +) осі Ox.

Аналогічно визначається невласний інтеграл вигляду .

Коли функція f(x) визначена в проміжку (-; b) і інтегрована на відрізку [a, b]при всякому a<b, то за означенням

(8)

Невласний інтеграл називається збіжним, якщо існує скінченна границя, що стоїть у правій частині рівності (8) і розбіжним, якщо такої скінченної границі не існує.

Нарешті, якщо функція f(x) визначена на проміжку (-; +) то, за означенням

(9)

де c - яке небудь стале число, причому невласний інтеграл (9) називається збіжним, якщо збігаються обидва невласних інтеграли, які стоять у правій частині рівності, а якщо принаймі один з цих інтегралів розбігається, то невласний інтеграл називається розбіжним.

Без доведення приймемо деякі ознаки збіжності невласних інтегралів.

1. Коли функція f(x) визначена на проміжку [a; +) і інтегровна на відрізку [a; b] при всякому a<b, то невласні інтеграли

i ,

де а₁>a одночасно збігаються або розбігаються.

2. Якщо функція f(x) невід’ємна на проміжку [a; +) і інтегровна на відрізку [a; b] при всякому a<b то умова

необхідна і достатня для збіжності невласного інтеграла .

3. Якщо f(x) та g(x) - дві невід’ємні функції на на проміжку [a; +) і інтегровні на відрізку [a;b] при всякому a<b і якщо

f(x)Cg(x)

де C – стала константа, то із збіжності невласного інтеграла dx випливає збіжність невласного інтеграла ,(або, що те саме, із розбіжності невласного інтеграла випливає розбіжність невласного інтеграла ).

4. Якщо функція f(x) невід’ємна на проміжку [a; +) і інтегровнa на відрізку [a;b] при всякому a<b і якщо

де С - константа, а число >1, то невласний інтеграл збігається. Якщо ж 1, то розбігається.

5. Нехай функція f(x) визначена на проміжку [a; +) і інтегровнa на відрізку [a;b] при всякому a<b. Якщо невласний інтеграл збігається, то збігається і невласний інтеграл .

Невласний інтеграл називається абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл . Якщо ж невласний інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то невласний інтеграл називається умовно збіжним.

Аналогічно визначаються умовно і абсолютно збіжні невласні інтеграли вигляду .

6. Нехай функція f(x) визначена і необмежена на піввідрізку [a; b) і інтегровна за Ріманом на кожному відрізку [a; b-), де 0<<b-a (це матиме місце, наприклад, якщо функція f(x) неперевна на піввідрізку [a; b) і не обмежена на ньому). Оскільки функція f(x) інтегровна на відрізку [a; b-] при будь-якому 0<<b-a, то на кожному такому відрізку вона обмежена. Отже, коли точка x наближається до точки b зліва, функція f(x) за модулем може набувати як завгодно великих значень. Це може бути, наприклад, тоді, коли f(x)+ при xb-0. Тоді визначений інтеграл від функції f(x) на відрізку [a; b] не існуватиме. Однак може існувати скінченна границя

(10)

Якщо ця скінченна границя існує, то її називають невласним інтегралом 2-го роду від функції f(x) на відрізку [a,b] і позначають .

Отже, за означенням

(11)

У цьому разі вважають також, що невласний інтеграл збігається (до числа А). Якщо ж інтеграл при 0<0 не має скінченної границі, то символ

також називають невласним інтегралом, однак у цьому випадку вважають, що невласний інтеграл розбігається. Такому невласному інтегралу не приписують ніякого значення.

Щоправда, якщо інтеграл при 0<0 прямує до нескінченності, то іноді вважають, що невласний інтеграл дорівнює нескінченності (розбігається до нескінченності).

Аналогічно визначається невласний інтеграл від функції f(x) визначеної і не обмеженої у півінтервалі (a,b] і інтегрованої на кожному відрізку [a+; b]. За означенням вважають

(12)

Якщо границя, яка стоїть у правій частині рівності існує і скінченна , то невласний інтеграл (12) називається збіжним. Якщо ця границя не існує, або дорівнює нескінченності то невласний інтеграл називають розбіжним. Нарешті, нехай функція визначена на проміжках [a;c) i (c;b], необмежена в кожному з цих проміжків і інтегровна на кожному з відрізків [a; c-], [c+; b]. Тоді за означенням

(13)

причому невласний інтеграл називається збіжним, якщо збігаються обидва невласні інтеграли які стоять у правій частині рівності. Якщо принаймі один з цих інтегралів розбігається , то невласний інтеграл називається розбіжним. Встановимо деякі ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду.

Ці ознаки багато в чому аналогічні відповідним ознакам збіжності невласних інтегралів з нескінченними проміжками інтегрування.

Якшо f(x), g(x) – дві невід’ємні необмежені функції на піввідрізку [a;b), інтегровні за Ріманом на кожному відрізку [a;b-) де 0<<b-a, і якщо

f(x)cg(x),

де c - константа, то із збіжності невласного інтеграла випливає збіжність невласного інтеграла (або, що те саме, з розбіжності невласного інтеграла випливає розбіжність невласного інтеграла )

2. Нехай f(x) невід’ємна і необмежена на піввідрізку [a;b) і інтегровна на кожному відрізку [a;b-) де 0<<b-a.

Якщо існують такі числа a₁(a;b), M>0, 0<<1, що

для а₁х<b,

то невласний інтеграл збігається.

Якщо існують такі числа a₁(a;b), M>0, 1, що

для а₁х<b ,

то невласний інтеграл розбігається.

3. Нехай f(x) визначена на проміжку [a;b), необмежена на цьому проміжку і інтегровна на кожному відрізку [a;b-) де 0<<b-a. Якщо збігається невласний інтеграл , то збігається невласний інтеграл .

Якщо збігається невласний інтеграл , то невласний інтеграл називається абсолютно збіжним.

Якщо ж невласний інтеграл збігається, а невласний інтеграл розбігається, то невласний інтеграл називається умовно збіжним.