?.4 Независимость событий, примеры независимых и зависимых событий.

Вероятность появления события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А и вычисляется по формуле:

где A, B E, P(B) 0.

События A, B E называются независимыми, если .

В противном случае события А и В называются зависимыми.

Пример независимого события:

Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие A) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.

Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Пример зависимого события:

В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим A извлечение изношенного резца в первом случае, а — извлечение нового. Тогда . Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим B событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

Следовательно, вероятность события B зависит от того, произошло или нет событие A.

??.1 Неравенство Чебышева, закон больших чисел.

Неравенства Чебышёва

Все неравенства в этой теме принято относить к одному классу, называемому «неравенствами Чебышёва». Следующее неравенство часто называют неравенством Чебышёва, хотя в такой форме оно появилось впервые, видимо, в работах Маркова.

Теорема (неравенство Маркова). Если , то для любого

Доказательство: Нам потребуется следующее понятие:

Определение: Пусть A — некоторое событие. Назовём индикатором события A случайную величину I(A), равную единице, если событие A произошло, и нулю, если A не произошло.

По определению, величина I(A) имеет распределение Бернулли с параметром

, и её математическое ожидание равно вероятности успеха ). Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством . Поэтому

Тогда

Осталось разделить обе части неравенства на положительное x.

Следующее неравенство мы будем называть обобщённым неравенством Чебышёва.

Следствие (обобщённое неравенство Чебышёва). Пусть функция g не убывает и неотрицательна на R. Если , то для любого

Доказательство: Заметим, что , поскольку функция g не убывает. Оценим последнюю вероятность согласно неравенству Маркова, которое можно применять в силу неотрицательности g:

??.2 Эргодическая теорема для цепей Маркова.

??.3 Свойства характеристических функций.

Характеристическая функция случайной величины х – это есть мат.ожидание e^itx

f(t)=Ee^itx=E(cos tx)+iE(sin tx) – функция вещественных переменных, но с комплексными значениями. В частном случае – преобразование Лапласа.

Свойства характеристической функции:

Существует плотность распределения

f(t)=

f(t)=

когда есть плотность, то dF(x)=p(x)dx, когда дискретные: dF(x)=F(x⁺)-F(x)=P(X=x)

Для дискретных x: f(t)=ⁿ_j=1e^itx_j p(X=x_j)

1. f(0)=1

2. |f(t)|<1, т.к. |e^itx|<1

|EX|<E|x|

3. Пусть y=ax+b, где a,b – const, тогда f_y(t)=e^itbf_x(at), т.к. f_y(t)=Ee^it(ax+b)=Ee^i(ta)xe^itb=e^itbf_x(at)

4. Если случайные величины x,y – независимы, то f_x+y(t)=f_x(t)f_y(t), т.к. f_x+y(t)=E(e^it(x+y))= =E(e^itxe^ity)=Ee^itxEe^ity= f_x(t)f_y(t)

Вполняется для любого количества независимых случайных величин.

Существует x₁,…,x_n – независимых случайных величин

S_n= x₁+…+x_n, тогда f_Sn(t)=Пⁿ_i=1f_Xi(t)

5. a) Пусть E|x| - конечна и f(t) - это характеристическая функция, тогда f(t) дифференцируема и производная =

f `(t)|_t=0=iEx

b) Если E|x|² – конечна, то функция f(t) – дважды дифференцируема:

f `(t)|_t=0=iEx,

f ``(t)|_t=0=-Ex²

c) Если E|x|ⁿ – конечна, функция f(t) – n раз дифференцируема:

f⁽ⁿ⁾(t)|_t=0=(i)ⁿExⁿ

В случае a существует разложение f(t)=1+iExt+0(t)

В случае b существует разложение f(t)=1+iExt-Ex²t²/2+0(t)

В случае c существует разложение f(t)=1+iExt-Ex²t²/2+…+(i)ⁿExⁿtⁿ/n!+0(t)

Доказательство:

1. f `(t)|_t=0=iEx

E – это интеграл, поэтому, когда мы берем производную по интегралу, по параметру – когда интеграл равномерно и абсолютно сходится, то дифференцирование под знаком интеграла.

Надо проверить:

Продифференцировать, будет ли такой интеграл равномерно сходится.

E|ixe^itx|=E|x| - пусть плоское распределение.

E|x|=, сходится равномерно, если интеграл по множеству, гдеx>A или x<-A стремится к 0, когда A.

Это выполняется, т.к. это свойство любого интеграла.

Следовательно f `(t)=E(ixe^itx)=iEx, если t=0

b,c) точно также доказывается, что можно дифференцировать под знаком интеграла.

f ``(t)=E(-x²e^itx)=-Ex² при t=0

f⁽ⁿ⁾(t)=E((ix)ⁿe^itx)=(i)ⁿExⁿ при t=0

a,b,c) Вторая часть это разложение по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пиано.

6. Между функциями распределения и характеристическими функциями существует взаимнооднозначное соответствие: каждой характеристической функции соответствует 1 функция распределения и наоборот.

F(x)f(t)

7. Свойство непрерывности.

2 свойства равносильны

F_n(x)F(x) в каждой точке, сходимость слабая равносильна

f_n(t)f(t), сходимости характеристических функций в каждой точке.

8) Обозначим через tхарактеристическую функцию стандартного нормального закона.

Это значит,, тогда характеристическая функция

Доказательство:

Обозначим

= ==

С другой стороны ^`(t)=

Получим дифференциальное уравнение.

`(t)=-t(t) - оно имеет следующее решение.

=-t Проинтегрируем

ln (t)=-t²/2+C

(t)= C- какая-то постоянная

Пусть t=0 (t)=1 1 – это постоянная =>

(t)=C, т.е. (t)=, ч.т.д.

??.4 Коэффициент корреляции и его свойства.

Как мы знаем, если и - независимые случайные величины, то по свойству математического ожидания

Если же и не являются независимыми случайными величинами, то, вообще говоря,

Условились за меру связи (зависимости) двух случайных величин и принять безразмерную величину , определяемую соотношением.

и называемую коэффициентом корреляции.

Рассмотрим некоторые свойства коэффициента корреляции.

Если и - независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен нулю.

Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. если , то отсюда еще не следует, что и независимы.

Заметим без доказательства, что . При этом если , то между случайными величинами и имеет место функциональная, а именно линейная зависимость.

Замечание. Двумерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения системы величин и имеет вид

Можно показать, что постоянная R равна коэффициенту корреляции величин и , т.е. . Следует заметить, что в случае, когда система величин и распределена нормально и коэффициент корреляции , то величины и независимы.