Скачиваний:
16
Добавлен:
03.06.2014
Размер:
1.82 Mб
Скачать

705.3Многомерный нормальный вектор

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей— это обобщениеодномерного нормального распределения.

Случайный векторимеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1 Произвольная линейная комбинациякомпонентов вектораимеет нормальное распределение или является константой.

2 Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин , вещественный векториматрицаА размерностиn*m, такие что: .

3 Существует вектор инеотрицательно определённаясимметричная матрицаразмерностиn*n, такие что плотность вероятностивектораX имеет вид:

где — определитель матрицы, а— матрицаобратнаяк.

4 Существует вектор и неотрицательно определённая симметричная матрицаразмерностиn*n, такие что характеристическая функциявектораX имеет вид:

замечания:

1Если одно из приведённых выше определений принято в качестве основного, то другие выводятся в качестве теорем.

2Вектор является векторомсредних значенийX, а — егоковариационная матрица.

3В случае n=1, многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.

4Если случайный вектор X имеет многомерное нормальное распределение, то пишут .

свойства многомерного распределения:

-Если вектор имеет многомерное нормальное распределение, то его компонентыимеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно!

-Если случайные величины имеют одномерное нормальное распределение и совместнонезависимы, то случайный векторимеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариацийтакого вектора диагональна.

-Если имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарнонекоррелированы, то они независимы. Однако, если только компонентыимеют одномерное нормальное распределение и попарно не коррелируют, то отсюдане следует, что они независимы.

Контрпример. Пусть , ас равными вероятностями. Тогда если, то корреляцияX и Y равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы.

-Многомерное нормальное распределение устойчивоотносительнолинейных преобразований. Если, а A — произвольная матрица размерности m*n, то

.

705.4Свойства производящих функций, примеры их вычисления.

Производящая функция

Производящая функция — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

Пусть есть случайная величина X с распределением . Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).

Свойства производящих функций моментов

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

  • Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть X,Y суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.

  • Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:

  • Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда

Пример: Производящая функция чисел Белла.

Альтернативный вариант ответа

Пусть существует X- случайная величина дискретного типа, то есть принимает значения гдеX целочисленное 0,1,2,…,k с вероятностями p0,p1,…pk, тогда производящей функцией мы называем ,

где Z- комплексная переменная, а X – случайная величина.

Свойства производящих функций:

1)

2)

3)Возьмем - разложим в ряд Тейлора в точке (0).сравним (1) и (2).

31//По производящей функции можно восстановить вероятности pk.

4)

Если от в (1) брать производные так какприможно брать любые производные.

при Z>1 тогда при Z=1

Необходимо, чтобы правая часть была конечна.

Частный случай:

5) Если Y=aX+b то (следует из определения)

6) Если случайные величины X,Y –независимы, то

где независимы.

Пример:

  1. Вычислить производящую функцию распределения Пуассона.

Случайная величина принимает значения.

где k=0,1,2,…

тогда

где

Следствие:

Пусть -n – независимых случайных величин, которые имеют распределение Пуассона c параметром ., тогдаY тоже имеет распределение Пуассона с параметром .

Мы получили

  1. Пусть. Найти закон распределения, который соответствует данной производящей функции.

если n>2; то производная 0

Случайная величина принимает значение 0, 1, 2, с вероятностями

  1. Производящая функция называется производящей функцией момента (т.к. м. вычислить момент).

Вычислить для распределения Пуассона с параметром.

Для распределения Пуассона получим формулу.