11. Схема Бернулли, примеры, полиномиальная схема.

Под схемой Бернулли понимают конечную серию n повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают p = P(Y), а непоявления (неудачи) его P(H) = q = 1 - p. Я. Бернулли установил, что вероятность ровно успехов в серии из повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:

То значение m₀, при котором число P_n(m) является максимальным из множества {P_n(m)}, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию

Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из k событий с вероятностью ( . Вероятность появления раз первого события и - второго и -го находится по формуле

При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:

Пример 36. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 8 единиц. Каждый объект может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян.

Решение. Пусть событие A = {потерять системой радиолокационных станций хотя бы один объект}, тогда P(A) = P_s(1) + P_s(2) + … + P_s(8)

Проще найти вероятность противоположного события - ни один объект не потерян.

Полиномиальная схема

Схему независимых испытаний Бернулли еще называют биномиальной схемой, поскольку она рассматривает последовательности испытаний с двумя исходами. От нее можно перейти к более общей полиномиальной схеме последовательных независимых испытаний, в каждом из которых возможны k > 2 исходов с вероятностями P₁, P₂,…, P_k , 0 < P_i < 1.

В этом случае пространство элементарных исходов содержит .Вероятность того, что из n испытаний m₁ закончатся первым исходом, m₂ – вторым исходом, …, m_k – k-ым исходом равна:

12. Теорема Пуассона, примеры применения.

Теорема Пуассона.

При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона.

Если число испытаний так, что при любых k = 0, 1, 2..

Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле

можно воспользоваться приближенной формулой , т.е. использовать формулу Пуассона для l = np.

Доказательство:

т.к. то

Взяв предел от последнего выражения получим искомую формулу:

limn→∞pn(k)=k!λke−λ

Примеры применения.

Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте:

H₁ = {стреляет 1-ый стрелок} и H₂ = {стреляет 2-ый стрелок}.

Априорные (a'priori — «до опыта») вероятности этих гипотез одинаковы:

Рассмотрим событие A = {пуля попала в мишень}. Известно, что

Поэтому вероятность пуле попасть в мишень

Предположим, что событие A произошло. Какова теперь апостериорная (a'posteriori — «после опыта») вероятность каждой из гипотез?

Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в раз).

Действительно,