5. Свойства вероятностей.

Нормировка вероятности:

0 ≤ p (A) ≤ 1 для любого события A

Вероятность противоположного события:

p(A) + p = 1

Для независимых событий A и B:

p(A и B) = p(A)p(B)

p(A или B) = p(A) + p(B)

Условная вероятность:

p(AB) = p(B) · p(A|B)

Формула полной вероятности:

p (B) = p (B | A1) p (A1) + p (B | A2) p (A2) + p (B | A3) p (A3) +… + p (B | Ak) p (Ak)

6. Теорема сложения вероятностей, задача о рассеянной секретарше.

Пусть A, B, C — попарно несовместимые события и m_A, m_B, m_c — соответственно числа их появлении в n испытаниях. Тогда событие A + B + C появится m_A + m_B + m_c раз при этих n испытаниях и, следовательно, частость события A + B + C будет равна сумме частостей событии, так как

Поэтому и для средних значений этих частостей (когда производится несколько серий испытаний), или, другими словами, для вероятностей, следует положить

P (A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)

т. е. имеет место

Теорема сложения вероятностей (для попарно несовместимых событий). Вероятность того, что произойдет одно из попарно несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий.

Следует особо подчеркнуть, что здесь речь идет о попарно несовместимых событиях. В противном случае данная формула не будет справедлива, так как при совместимости событий нельзя утверждать, что событие A + B + C появится m_A + m_B + m_c раз.

Задача о рассеянной секретарше

Секретарша должна была разложить n писем по n конвертам. Каждому письму предназначался единственный конверт. Секретарша была занята и положила письма в конверты случайно, но так чтобы в каждом конверте было по одному письму.

Пусть Х количество писем положенных в свои конверты. Найти EХ и DX.

Посчитаем вероятность ровно k письмам попасть в свои конверты:

P(Y1+...+Yn=k)=C(n,k)/(n(n-1)...(n-k+1)) * (1/2! - 1/3! +...+(-1)n-k/(n-k)!) = 1/k! * (e—1+O(1/(n-k+1)!))

Вероятность сходится при к, где Z имеет распределение Пуассона с параметром 1. Следовательно, имеет место сходимость по распределению распределения суммы к распределению Z.

6//Определение. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то событие А+В – попадание хотя бы при одном выстреле (или при первом выстреле, или при втором, или в обоих случаях).

Теорема 1.(теорема сложения вероятностей)

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Доказательство: Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ – число исходов, благоприятствующих событию А; m₂ – число исходов, благоприятствующих событию В.Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁+m₂. Следовательно, P(A+B)=(m₁+m₂)/n=m₁/n+m₂/n. Приняв во внимание, что m₁/n=P(A) и m₂/n=P(B), окончательно получим P(A+B)=P(A)+P(B)

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие А) P(A)=10/30=1/3 Вероятность появления синего шара (событие В) P(B)=5/30=1/6 События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P(A+B)=P(A)+P(B)=1/3+1/6=1/2

Теорема 2. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n, образующих полную группу, равна единице:

P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n)=1

Доказательство: Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то:

P(A₁+A₂+...+A_n)=1

любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

P(A₁+A₂+...+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n)

Сравнивая выражения, получим P(A₁+A₂+...+A_n)=1

Определение: Два несовместных события, образующие полную группу называются противоположными событиями. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A)+P()=1 или p+q=1, где P(A)=p, p()=q

Определение: Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Определение: Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.