39. Доверительные интервалы, примеры.
Будем считать, что
независимая выборка x
= (x1,…,xn)
взята из распределения, зависящего от
скалярного параметра 
.
Будем обозначать через
распределение вероятностей, соответствующее
значению 
неизвестного параметра.
Определение:
- доверительным
интервалом
называется интервал вида 
где 
такой,
что
Число 
называют доверительной
вероятностью.
Другими словами,
доверительный интервал обладает тем
свойством, что, во-первых, его границы
вычисляются исключительно по выборке
(и, следовательно, не зависят от
неизвестного параметра), и, во-вторых,
он накрывает неизвестный параметр с
вероятностью 
.
Значение доверительной
вероятности 
выбирается заранее, этот выбор определяется
конкретными практическими приложениями.
Смысл величины 
- вероятность допустимой ошибки. Часто
берут значения 
и т.п.
Ниже мы приводим один из методов построения доверительных интервалов. Он состоит из трёх этапов.
1. Выбираем функцию
G(x1,…,xn,
),
зависящую от выборки и от неизвестного
параметра, такую, что ее функция
распределения
не зависит от
неизвестного параметра
.
2. Выбираем два числа
и 
таким образом, чтобы 
.
Подбираем 
и 
,
удовлетворяющие условиям
Таким образом,
причем 
и 
не зависят от 
.
3. Решим двойное
неравенство 
относительно 
.
В том случае, когда его решением является
интервал, обозначим его левый и правый
концы через 
и 
соответственно. Естественно, они зависят
от выборки: 
.
Имеем:
Следовательно, 
- искомый
- доверительный интервал.
Замечание 1:
Описанная процедура,
разумеется, не является универсальной.
Во-первых, вопрос о выборе функции G
решается в каждом конкретном случае и
по этому поводу нет общих рекомендаций.
Во-вторых, совершенно не гарантировано,
что решением неравенства в п. 3 будет
интервал конечной длины. Вместе с тем,
во многих важных случаях изложенный
выше метод приводит к хорошим доверительным
интервалам. Например, оправдано применение
такого метода в случае, когда при каждой
фиксированной
выборке x
= (x1,…,xn)
функция G
= G(x1,…,xn,
)
является строго монотонной и непрерывной
по переменной 
.
Замечание 2:
В силу неоднозначности
выбора функции G
и чисел 
и 
,
можно заключить, что 
-доверительный интервал неединственен.
39//Пример:
Пусть x
= (x1,…,xn)
- независимая выборка из равномерного
распределения в отрезке [0,
]
с неизвестным параметром 
:
Пусть задана
доверительная вероятность 
.
Построим доверительный интервал для
.
1. Рассмотрим функцию
.
Вычислим ее функцию распределения:
Таким образом,
и, следовательно,
не зависит от 
.
2. Зафиксируем 
так, чтобы 
.
Тогда 
и 
.
3. Решая неравенство
, получаем 
- доверительный интервал для 
:
Очевидно, что следует
отдавать предпочтение тем 
- доверительным интервалам, у которых
длина короче.
40. Марковские цепи. Определения и основные характеристики.
Цепь Мааркова — последовательность случайных событий с конечным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что, г оворя нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого.
Переходная матрица и однородные цепи
МатрицаP(n), где
-матрица преходных
вероятностей на n-м шаге,
а вектор
где
— нача́льным распределе́нием цепи
Маркова.
Очевидно, матрица переходных вероятностей является стохастической, то есть
.
Матрица вырожденная – сумма элементов
каждой строки равна 1.
Цепь Маркова называется одноро́дной, если матрица переходных вероятностей не зависит от номера шага, то есть
.
В противном случае цепь Маркова называется неоднородной.