37. Критерий проверки гипотез.

1)Проверка согласия. Критерий Калмагорова

P

F_n(x)F(x)

Имеет место более сильный критерий

D_n=|F_n(x)-F(x)|

F(x)-теоретическая функция распределения

F_n(x)-F(x)0

n

p(D_n<X)k(x)

k(x) – функция распределения из таблицы

Функция распределения Калмагорова

D_n– расстояние междуF_n(x) иF(x)

Верно только для истинных функций распределения.

Гипотеза: F(x)=F₀(x)

Алтренатива: F(x)=F₁(x)

F(x)-известная функция распределения.

Если гипотеза верна, то D_n 0 и конечно

Иначе - D_n

- уровень значимости

t_- дов. расстояние

P(D_n>t_) =

Если мы вдруг получим (D_n> t_), то получается что получили событие, которое не могло произойти, а значит отвергаем гипотезу.

Для альтернативной гипотезы такое возможно с большой вероятностью.

Задача Неймана-Пирсона.

F(x) – функция распределения.

H₀ - гипотеза

Гипотеза является простой, если она однозначна определяется функцией распределения.

Сложная – неоднозначно определяется функцией распределения

H₀ –p(x)=p0(x)p0 – известная плотность распределения

H₁ –p(x)=p1(x) p1 - известная плотность распределения

Ошибка 1 рода – отвергнуть Н0 когда она верна

Ошибка 2 рода – Принять Н1 когда она не верна

Задача – выбрать такой критерий, который при фиксированном значении уровня вероятности ошибки 1 рода() минимизирует вероятность появления ошибки 2 рода.

Существует общий критерий, который решает эту задачу и описывается так:

Рассмотрим распределение выборки L₀()=p0(x₁)*p0(x₂)……p0(x_n)

Если >C

Н0 – отклоняется. Иначе – не отклоняется.

С выбирается по уровню значений, то есть р(ошибки 1 рода)

38. Критерий Колиогорова и критерий χ², примеры.

Критерий Колмогорова

Имеется выборка из распределения . Проверяется простая гипотеза

против сложной альтернативы . В том случае, когда распределение имеет непрерывную функцию распределения , можно пользоваться критерием Колмогорова. Пусть

Условие 1. Пусть возможно задать функцию , обладающую свойствами:

а) если гипотеза верна, то , где — непрерывное распределение;

б) если гипотеза неверна, то при

Покажем, что удовлетворяет условию 1:

Умножая на получим при , что

Рис 1. График функции K(y).

Пусть случайная величина имеет распределение с функцией распределения Колмогорова

Это распределение табулировано, так что по заданному легко найти такое, что .

Критерий Колмогорова выглядит так:

Пример: Имеется таблица эмпиреского распределения (u(i) - время работы элемента, n(i) - кол-во элементов). Используя критерий Колмогорова, проверить гипотезу о показательном распределении.

Критерий Пирсона (тоже, что и χ² )

Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H₀ о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического F * (x) и теоретического распределений производится с помощью специального правила — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

Для проверки критерия вводится статистика:

где — предполагаемая вероятность попадения в i-й интервал,

— соответствующее эмпирическое значение, n_i — число элементов выборки из i-го

интервала, N — полный объём выборки.

Эта величина в свою очередь является случайной (в силу случайности X) и должна подчиняться распределению χ2.

Пример: Проверить с помощью критерия χ2 гипотезу о нормальном распределении логарифма числа циклов до разрушения при усталостных испытаниях по данным табл. Принять уровень значимости α = 0.05.