35. Задачи оценивания в математической статистике, состоятельность, несмещаемость, эффективность оценки.

Оценивание

Оценкой параметра Т называется любая функция от выборки

T=T(x₁,…,x_n)

Свойства оценок:

1. T_n=T_n(x₁,…,x_n) –состоятельна, если T_n сходится по вероятностям к  p

T_n (n)

2. Оценка несмещения, если E_T=

E_T=

Оценивание – процесс, алгоритм, Если применить его много раз, то есть вероятность, что оно стремится к истинному значению.

3. Оценка эффективна, если

А) Она несмещеяема

Б) DT<DT₁ функция несмещаемой оценки.

36. Примеры построения оценок и исследования их свойств

изучая генеральную совокупность, мы на самом деле изучаем некоторую случайную величину x. Последняя же становится известной, если известно ее распределение (плотность или функция распределения). В типичных задачах вид функции распределения x известен с точностью до некоторых параметров.

Например:

в теории измерений считается, что ошибки измерений подчинены нормальному закону с плотностью

и задача состоит в определении а либо s, либо обоих параметров одновременно.

Количество несчастных случаев часто предполагают распределенным по закону Пуассонаи задача состоит в определении параметра l.

     В теории надежности предполагают, что длительность безотказной работы прибора подчинена показательному закону распределения с параметром m:

и снова возникает задача об определении одного параметра.

Вся информация, которой мы располагаем при решении указанных задач, содержится в выборке ().

Определение. Оценкой неизвестного параметра Q называют любую (борелевскую) функцию n переменных от выборки:

Поскольку оценка является функцией от случайного вектора (выборки), она сама является случайной величиной, распределение которой зависит от числа наблюдений n и оцениваемого параметра Q.

36//Основные свойства

Для того чтобы оценка имела практическую ценность, она должна обладать следующими свойствами.

     1. Оценка параметра q называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру q , т.е.М = q . (22.1)

Если равенство (22.1) не выполняется, то оценка может либо завышать значение q (М >q ), либо занижать его (М < q ) . Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки для того, чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

     2. Оценка параметра q называется состоятельной , если она подчиняется закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру при неограниченном возрастании числа опытов (наблюдений ) и, следовательно, выполняется следующее равенство:

, (22.2) где e > 0 сколько угодно малое число.

Для выполнения (22.2) достаточно, чтобы дисперсия оценки стремилась к нулю при , т.е. (22.3)

и кроме того, чтобы оценка была несмещенной. От формулы (22.3) легко перейти к (22.2) , если воспользоваться неравенством Чебышева.

Итак, состоятельность оценки означает, что при достаточно большом количестве опытов и со сколько угодно большой достоверностью отклонение оценки от истинного значения параметра меньше любой наперед заданной величины. Этим оправдано увеличение объема выборки. Так как - случайная величина, значение которой изменяется от выборки к выборке, то меру ее рассеивания около математического ожидания q будем характеризовать дисперсией D. Пусть и - две несмещенные оценки параметра q, т.е. M = q и M = q , соответственно D и D и, если D < D , то в качестве оценки принимают .

     3. Несмещенная оценка , которая имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра q, вычисленных по выборкам одного и того же объема , называется эффективной оценкой.

На практике при оценке параметров не всегда удается удовлетворить одновременно требованиям 1, 2, 3. Однако выбору оценки всегда должно предшествовать ее критическое рассмотрение со всех точек зрения. При выборке практических методов обработки опытных данных необходимо руководствоваться сформулированными свойствами оценок.