32. Примеры использования производящих функций для вычисления моментов.

Производящая функция, моменты, мода, медиана и квантили случайной величины

Начальным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени случайной величины :. (3.33)

Центральным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания:. (3.34)

Справедливы следующие выражения для центральных моментов:

; (3.35)

; (3.36)

; (3.37)

; (3.38)

. (3.39)

Производящей функцией случайной величины называется функция от параметра (вообще говоря, комплексного), равная . (3.40)

Как и раньше, если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: .

Начальные моменты случайной величины выражаются через производные её производящей функции[13]:

для всех : , (3.41)

где - -я производная функции .

Если (где ), то производящая функция переходит в характеристическую функцию, широко используемую в фундаментальной теории вероятностей и теории меры.

33. Определение и свойства условного математического ожидания.

Условное математическое ожидание в теории вероятностей - это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.

X, Y – дискретные случайные величины.

X: x₁,…,x_n

Y: y₁,…,y_n

P(X=x_i Y=y_j)=P_y

(1)

Определим такую же формулу для непрерывного распределения.

Свойства условного математического ожидания:

1. E(x|y) при фиксированном Y обладает всеми свойствами обычного математического ожидания

2. 

   А₁А₂…. А_n

   Ω

A₁={W,Y=Y_i} Y(w)-постоянна

L(Y₁)>L(Y₂)

Если каждой

A_i(Y₂)=U_iB_j(Y_i)

Y₂=f(Y_i)

Y₁>Y₂

3. А₂ – элемент разбиения случайной величины У₂ => А₂=UB_i

B_i - элементы порожденные случайной величиной Y₁

WÎB_iÌA₂ – элементарные события

Основные свойства условного мат. ожидания.

1. Если x=f(y) => E(x|y)=x

2. E(E(x|y))=Ex

3. Если X,Y – независимые, то E(x|y)=Ex

34. Условное мат ожидание и условное распределение одного подвектора норм случ вектора относит другого подвектора

Условное распределение:

условные мат ожидания:

34//Условная вероятность.

P(A/B)

Условной вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло событие B.

Вывод формулы условной вероятности для случая равновероятных элементарных событий

Действительно, в данном испытании произошло одно из t событий, входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность наступления произвольного элементарного события, входящего в B равна 1/t. Тогда по классическому определению вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.

В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.

Обоснование формулы условной вероятности в общем случае.

Пусть в n_B испытаниях произошло событие B, а в n_A испытаниях произошло событие A. Найдем условную частость наступления события A при условии, что произошло событие B. Мы можем сделать это для обоснования формулы, т.к. под вероятностью наступления события понимается предел частости наступления события при условии, что серия испытаний достаточно длинная.

Условная частость

Рассматривая AB как одно событие D имеем:  с другой стороны

Рассмотрим систему событий A₁, A₂,...,A_k. Покажем, что вероятность их совместного наступления равна:

Доказательство проведем по мат индукции.

Формула равна для 2 и 3 (см. ранее)

Пусть формула верна для k-1.

Введем событие B.

P(A₁A₂...A_k-1)=P(B)

P(A₁A₂...A_k)=P(A_kB)=P(B)×P(A_kB)