29. Свойства характеристических функций.

Характеристическая функция случайной величины х – это есть мат.ожидание e^itx

f(t)=Ee^itx=E(costx)+iE(sintx) – функция вещественных переменных, но с комплексными значениями. В частном случае – преобразование Лапласа.

Свойства характеристической функции:

Существует плотность распределения

f(t)=

f(t)=

когда есть плотность, то dF(x)=p(x)dx, когда дискретные:dF(x)=F(x⁺)-F(x)=P(X=x)

Для дискретных x:f(t)=ⁿ_j=1e^itx_jp(X=x_j)

1. f(0)=1

2. |f(t)|<1, т.к.|e^itx|<1

|EX|<E|x|

3. Пусть y=ax+b, где a,b – const, тогда f_y(t)=e^itbf_x(at), т.к. f_y(t)=Ee^it(ax+b)=Ee^i(ta)xe^itb=e^itbf_x(at)

4. Если случайные величины x,y – независимы, то f_x+y(t)=f_x(t)f_y(t), т.к. f_x+y(t)=E(e^it(x+y))= =E(e^itxe^ity)=Ee^itxEe^ity= f_x(t)f_y(t)

Вполняется для любого количества независимых случайных величин.

Существует x₁,…,x_n– независимых случайных величин

S_n=x₁+…+x_n, тогда f_Sn(t)=Пⁿ_i=1f_Xi(t)

5. a) ПустьE|x| - конечна иf(t) - это характеристическая функция, тогдаf(t) дифференцируема и производная =

f`(t)|_t=0=iEx

b) ЕслиE|x|²– конечна, то функцияf(t) – дважды дифференцируема:

f `(t)|_t=0=iEx,

f ``(t)|_t=0=-Ex²

c) ЕслиE|x|ⁿ– конечна, функцияf(t) –nраз дифференцируема:

f⁽ⁿ⁾(t)|_t=0=(i)ⁿExⁿ

В случае aсуществует разложениеf(t)=1+iExt+0(t)

В случае bсуществует разложениеf(t)=1+iExt-Ex²t²/2+0(t)

В случае cсуществует разложениеf(t)=1+iExt-Ex²t²/2+…+(i)ⁿExⁿtⁿ/n!+0(t)

29//Доказательство:

1. f `(t)|_t=0=iEx

E– это интеграл, поэтому, когда мы берем производную по интегралу, по параметру – когда интеграл равномерно и абсолютно сходится, то дифференцирование под знаком интеграла.

Надо проверить:

Продифференцировать, будет ли такой интеграл равномерно сходится.

E|ixe^itx|=E|x| - пусть плоское распределение.

E|x|=, сходится равномерно, если интеграл по множеству, гдеx>Aилиx<-Aстремится к 0, когдаA.

Это выполняется, т.к. это свойство любого интеграла.

Следовательно f`(t)=E(ixe^itx)=iEx, еслиt=0

b,c) точно также доказывается, что можно дифференцировать под знаком интеграла.

f ``(t)=E(-x²e^itx)=-Ex² при t=0

f⁽ⁿ⁾(t)=E((ix)ⁿe^itx)=(i)ⁿExⁿ при t=0

a,b,c) Вторая часть это разложение по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пиано.

6. Между функциями распределения и характеристическими функциями существует взаимнооднозначное соответствие: каждой характеристической функции соответствует 1 функция распределения и наоборот.

F(x)f(t)

7. Свойство непрерывности.

2 свойства равносильны

F_n(x)F(x) в каждой точке, сходимость слабая равносильна

f_n(t)f(t), сходимости характеристических функций в каждой точке.

8) Обозначим через tхарактеристическую функцию стандартного нормального закона.

Это значит,, тогда характеристическая функция

Доказательство:

Обозначим

29//===

С другой стороны ^`(t)=

Получим дифференциальное уравнение.

`(t)=-t(t) - оно имеет следующее решение.

=-tПроинтегрируем

ln(t)=-t²/2+C

(t)=C- какая-то постоянная

Пусть t=0(t)=1 1 – это постоянная =>

(t)=C, т.е.(t)=, ч.т.д.