26. Теорема о плотности распределения преобразованной случайной величины.
27. Теорема о плотности распределения преобразованного случайного вектора. Примеры.
1. Преобразование случайных величин.
Пусть существует X – случайная величина с плотностью распределения p(x).
Пусть y
=
(x)
– некая функция от случайной величины
с плотностью распределения q(x).
Как можно q(x) выразить через p(x)?
Пусть 
(x)
– дифференцируема и монотонна, т.е.
между y
и x
существует взаимно однозначное
соответствие 
Пусть 
(x)
– монотонно возрастающая, тогда
т.к. 
- монотонная, 
.
Если 
(x)
убывает, то аналогично мы получим:
Общая функция:
– обратная функция.
Доказательство: По теореме о замене переменных:
– это множество тех точек, которые с
помощью преобразования 
переходят в множество А
(прообразы), т.е. все это верно для любого
множества А,
тогда
Пример:
Пусть 
28. Неравенство Чебышева, закон больших чисел.
Неравенства Чебышёва
Все неравенства в этой теме принято относить к одному классу, называемому «неравенствами Чебышёва». Следующее неравенство часто называют неравенством Чебышёва, хотя в такой форме оно появилось впервые, видимо, в работах Маркова.
Теорема (неравенство
Маркова). Если
,
то для любого 
Доказательство: Нам потребуется следующее понятие:
Определение: Пусть A — некоторое событие. Назовём индикатором события A случайную величину I(A), равную единице, если событие A произошло, и нулю, если A не произошло.
По определению, величина I(A) имеет распределение Бернулли с параметром
,
и её математическое
ожидание равно
вероятности успеха 
).
Индикаторы прямого и противоположного
событий связаны равенством 
.
Поэтому
Тогда
Осталось разделить обе части неравенства на положительное x.
Следующее неравенство мы будем называть обобщённым неравенством Чебышёва.
Следствие (обобщённое
неравенство Чебышёва).
Пусть функция g
не убывает и неотрицательна на R.
Если 
,
то для любого 
Доказательство:
Заметим, что 
,
поскольку функция g
не убывает. Оценим последнюю вероятность
согласно
неравенству
Маркова, которое можно применять в силу
неотрицательности g:
28//Закон больших чисел
Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.
Всегда найдётся такое количество испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности. Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.
На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.
Н. М. Чуринов в данном отношении пишет: «…интуиция математиков подсказывала, что теория вероятностей – это не обычная репрезентация. Для других математиков эта теория была вовсе не репрезентацией мира, а его образом, поскольку закон больших чисел, вокруг реализации которого строится теория вероятностей, представал не как закон науки, произвольно сочиненный ученым, а как объективный закон, действующий так же, как, например, закон всемирного тяготения – вне и независимо от сознания человека».
Слабый закон больших чисел:
Пусть есть бесконечная
последовательность одинаково
распределённых и некоррелированных
случайных величин 
,
определённых на одном вероятностном
пространстве 
.
То есть их ковариация 
.
Пусть 
.
Обозначим Sn
выборочное среднее первых n
членов:
Тогда 
Усиленный закон больших чисел:
Пусть есть бесконечная
последовательность независимых одинаково
распределённых случайных величин 
,
определённых на одном вероятностном
пространстве 
.
Пусть 
.
Обозначим Sn
выборочное среднее первых n
членов:
Тогда 