23. Двумерное нормальное распределение.

Двумерное нормальное распределение задается плотностью:

где R – коэффициент корреляции.

Теорема: если двумерная случайная величина имеет нормальное распределение, то ее составляющие также распределены по нормальному закону.

Доказательство.

Теорема: если нормально распределенные случайные величины некоррелированы, то они независимы.

Доказательство.

Так как - некоррелированы, то R = 0 и плотность совместного распределения принимает вид:

Отсюда следует независимость случайных величин .

Вывод: в случае совместного нормального распределения некоррелированность и независимость – это одно и то же.

24. Случайные векторы, их распределения, функции и плотности распределения и их свойства.

25.Многомерный нормальный вектор

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей— это обобщениеодномерного нормального распределения.

Случайный векторимеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

= Произвольная линейная комбинациякомпонентов вектораимеет нормальное распределение или является константой.

= Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин , вещественный векториматрицаразмерности, такие что:.

= Существует вектор инеотрицательно определённаясимметричная матрицаразмерности, такие чтоплотность вероятностивектораимеет вид:

где — определитель матрицы, а— матрицаобратнаяк.

= Существует вектор и неотрицательно определённая симметричная матрицаразмерности, такие чтохарактеристическая функциявектораимеет вид:

замечания:

=Если одно из приведённых выше определений принято в качестве основного, то другие выводятся в качестве теорем.

=Вектор является векторомсредних значений, а— егоковариационная матрица.

=В случае , многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.

=Если случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, то пишут.

25//свойства многомерного распределения:

-Если вектор имеет многомерное нормальное распределение, то его компонентыимеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно!

-Если случайные величины имеют одномерное нормальное распределение и совместнонезависимы, то случайный векторимеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариацийтакого вектора диагональна.

-Если имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарнонекоррелированы, то они независимы. Однако, если только компонентыимеют одномерное нормальное распределение и попарно не коррелируют, то отсюдане следует, что они независимы.

Контрпример. Пусть , ас равными вероятностями. Тогда если, то корреляцияиравна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы.

-Многомерное нормальное распределение устойчивоотносительнолинейных преобразований. Если, а— произвольная матрица размерности, то

.