17. Вычисление математических ожиданий функций от случайных величин с помощью дискретных и непрерывных плотностей распределения.

Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.

Случайная величина (),заданная в вероятностном пространстве {,S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) , если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения F_(x) можно представить в виде интеграла

. Функция называется функциейплотности распределения вероятностей.

Математическое ожиданиедля непрерывно распределенных случайных величин определяется по формулеПри этом интеграл, стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пустьимеет плотность р(х) и(х) - некоторая функция. Математическое ожидание величины() можно вычислить по формуле

,если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.

Дисперсияможет быть вычислена по формуле, а также, как и в дискретном случае, по формуле, где.

Свойство мат ожидания:

18. Свойства и статистический смысл дисперсии.

Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и заданы следующими рядами распределения

Значения	-0.2	-0.1	0.1
Вероятности	0.25	0.25	0.25	0.25

Значения	-50	-40	40
Вероятности	0.25	0.25	0.25	0.25

Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю:

Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁, x₂, ..., x_n соответственно с вероятностями p₁, p₂, ..., p_n. Очевидно, случайная величина принимает значения

с теми же вероятностями p₁, p₂, ..., p_n. Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем

Если же - случайная величина с плотностью распределения , то по определению

Свойства дисперсии:

1°. Дисперсия постоянной равна нулю.

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

3°. Если и - независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

19. Математическое ожидание и дисперсия нормального закона.

Говорят, что случайная величина нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения имеет вид

где a - любое действительное число, > 0. Смысл параметров a и будет установлен в дальнейшем. Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения F(x), имеем

График функции симметричен относительно прямой x = a. Несложные исследования показывают, что функция достигает максимума при x = a, а ее график имеет точки перегиба при x_j = a+ и x_j = a - . При график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0 осью симметрии является ось Oy. На рис. 11 изображены два графика функции y =. График I соответствует значениям a=0,=1,

а график II - значениям a=0, =1/2.

При любых а и выполняется соотношение

Найдем вероятность

Для вычисления определенного интеграла вводится функция

называемая интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента.

Легко показать, что функция Ф(х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

1°. Ф(0)=0

2°. ; при /x/>=4 величина |Ф(х)| практически равна ½

3°. Ф(-x)=-Ф(х), т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.

График функции Ф(х) изображен на рис. 12.

19//

Пусть >0. Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от параметра a по абсолютной величине не более, чем на , т.е. .

Так как неравенство равносильно неравенствам , то полагая x₁=a-, x₂=a- получим

Вследствие того, что интеграл вероятностей - нечетная функция, имеем