0. Основные формулы комбинаторики

В данном разделе мы займёмся подсчётом числа «шансов». О числе шансов говорят, когда возможно несколько результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки). Число шансов — это число способов проделать это действие или, что то же самое, число возможных результатов этого действия.

Теорема о перемножении шансов.

Пусть одно действие можно проделать пятью способами, а другое — двумя. Каким числом способов можно проделать пару этих действий?

Теорема 1. Пусть множество A состоит из k элементов: A={a₁ ,…, a_k}, а множество B — из m элементов: B={b₁ ,…, b_m}. Тогда можно образовать ровно km пар (a_i ,b_j), взяв первый элемент из множества A, а второй — из множества B.

Замечание 1. Можно сформулировать утверждение теоремы 1 так: если первый элемент можно выбрать k способами, а второй элемент m — способами, то пару элементов можно выбрать km способами.

Доказательство. С элементом a₁ мы можем образовать m пар: (a₁ ,b₁),…, (a₁ ,b_m). Столько же пар можно составить с элементом a₂, столько же — с элементом a₃ и с любым другим из k элементов множества A. Т.е. всего возможно km пар, в которых первый элемент выбран из множества A, а второй — из множества B.

Выбор без возвращения, с учётом порядка.

Теорема 2. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n без возвращения и с учётом порядка равняется

и называется числом размещений из n элементов по k элементов.

Доказательство. Первый шар можно выбрать n способами, его номер — любой из n возможных. При любом выборе первого шара есть n-1 способ выбрать второй шар. По теореме 1, число возможных пар (номер 1 шара, номер 2 шара) равно n(n-1). Для каждой такой пары есть n-2 способа выбрать третий шар. По теореме 1, число возможных троек ((номер 1 шара, номер 2 шара), номер 3 шара) равно произведению числа пар n(n-1) и числа способов выбора третьего шара, т.е. равно n(n-1)(n-2). Продолжая рассуждения, получим, что общее число возможных наборов из k шаров равно n(n-1) ^....^. (n-k+1). В этом произведении k сомножителей последний множитель n-k+1 есть число способов выбора k-го шара, когда уже выбраны предыдущие.

Следствие 1. Если в множестве n элементов, то существует ровно n! перестановок этих элементов.

Доказательство. Перестановка — результат выбора без возвращения и с учётом порядка n элементов из n. Поэтому общее число перестановок равно

Выбор без возвращения и без учёта порядка.

Теорема 3. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n без возвращения и без учёта порядка равняется

и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.

Доказательство. Согласно следствию 1, k различных номеров шаров можно упорядочить k! способами. Поэтому из каждого набора, выбранного без возвращения и без учёта порядка, можно образовать k! наборов, отличающихся друг от друга порядком следования номеров. Т.е. при выборе без возвращения и с учётом порядка возможно в k! раз больше наборов, чем при выборе без учёта порядка. Поэтому число наборов при выборе без учёта порядка равно