3. Группа движений (перемещений) пл-ти. Классификация движ. Приложения движений к реш.Задач.

О:Пусть Х,У-произв.мн-ва. Если указано правило f, где xX ставится вполне определенное y то говорят, что задано отображение мн-ва Х во мн-во Y.

О: Любое взаимоодн-ное отображение мн. на себя наз. преобразованием этого мн. О: Преобр-е f пл-ти, сохраняющее расст. будем наз. дв-м или перемещением.

Клас-я дв-ний:1)дв-ния 1го рода: a)1 инв-ная точка:поворот, центр.симметрия,b)инв. точек нет:парал. перенос. Поворот и пар. перенос-тождественные преобр-я.

2)дв-ния 2го рода:a)инв-х точек бескон. мнY, -во:осевая симм.b) инв-х точек нет:скол.симметрия.

Св-ва:1)дв-е сохр-ет отн-е «лежать между»

;

2) дв-е сохр-ет отн-е «трех точек каждой прямой»

Лемма: если преобр-е f сохр-ет отн-е любых трех точеккаждой прямой, тоf переводит R(O, в такой R’(O’, , что координаты точки М’=f(M) в R’ равны соответствующим координатам в R.

Т: дв-е f переводит ортонормированный R в ортон-й R’ при этом координаты точки М’=f(M) в R’ равны соответствующим координатам в R.

1.Пар.Перенос.

R(O,

M(x,y),M’(x’,y’),

cв-ва:1) преобр-е пл-ти 2)дв-е 3) если , то пар. пер. не имеет инв-х точек. 4)прямая переходит в парал. ей прямую.

2.Осевая симм.

M и M’сим=ны отн-но пр. d, если 1)MM’  в 2)d проходит через середину ММ’.

O : отоб-е т.M- ос. cим-я с пр. d. d-ось сим-и.

Св-ва: 1) преобр-е пл-ти 2)дв-е 3)люб. точка инв-ная.ось-прямая.бесчис. мн-во инв-х пр-х(прямые перп-ные оси сим.)прямая и ее прообраз параллельны оси сим. или перес. на оси сим.

3.поворот пл-ти. Пусть на пл-ти заданы т.О и ориент. АВС

O-центр поворота, - угол пов.,

Анал.выр-е:

x=OM cos

Cв-ва: 1) преобр-е пл-ти 2)дв-е 3) любая прямая пер-ит в прямую 4) имеет инв-ную точку 5)если 0 других инв-х точек нетб =0 -тожд.преобр-е любой точки инв.

цент. симм.- поворот на угол

cв-ва:св-ва поворота+любая пр. пер-т в пар-ную ей пр., пр. прох-щая ч-з центр сим-и преобр-ся в себя.

4. Скол-щая сим-я

Анал.выр-е.

cв-ва: 1) преобр-е пл-ти 2)дв-е 3)всякая пр. пер-т в прямую 4)инв-х точек нет, 1 инв-ная прямая-Ох.

Группы и подгруппы дв-я:

Каждое движение плоскости сохраняет расстояние по определению. Любой вид движений имеет свои инварианты можно рассматривать группу свойств движений.

Теорема: Множество движений плоскости с заданной композицией является группой, причем группой аддитивности.

Теорема 2: Множество параллельных переносов плоскости есть подгруппа движений причем группа Абелева.

Теорема 3: Множество поворотов с общим центром есть подгруппа группы движений причем группа Абелева.

Пусть F – функция, аргументами и значениями которой являются точки плоскости. Запись A’ = F(A) означает, что F переводит точку A в точку A’. Функция F называется движением на плоскости, если для любых точек A и B расстояние AB равно расстоянию A’B’, где A’ = F(A) и B’ = F(B). Иначе говоря, движение сохраняет расстояния между точками.

Теорема. Пусть F – движение на плоскости. Тогда F принадлежит к одному из следующих типов преобразований:

I. Параллельный перенос.

II. Поворот вокруг точки на плоскости.

III. Осевая симметрия.

IV. Осевая симметрия с последующим параллельным переносом.

Таким образом, существует всего 4 вида движений. Точнее, их три: осевая симметрия является лишь частным случаем IV типа преобразований. Но для удобства будем всё же различать III и IV типы.

Св-е дв-й к осевым сим-м.

Т: любое дв-е можно предст. в виде произв-я не более чем 3х осевых симм.

Т1:пр-е 2-х ос-х сим-й , оси кот. парал-ны явл. парал. переносом на осям сим-и и длина кот. в 2 раза больше рас-я м-у 2 осями.

Надо показ, что -вел-на пост.

Т2:любой пар-ный перенос модно предст в виде произ-я осей сим-и (вектору переноса),рас-е между кот. =половине длины вектора переноса.

Т3:Пр-е 2 ос-х сим-й, оси которых пер-ся в т.О есть поворот пл-ти вокруг точки О, на угол в 2 раза больше угла м-у олсями.

Т3’: любой поворот можно разложить на произв-я 2 осевых сим-й, оси которого пер-ся в т.О, угол м-у осями= половине угла поворота.

Т4:Скол.сим-ю всегда можно предст-ть виде пр-я 3 осей сим-й.

Задача № 2 Построить равносторонний треугольник АВС с вершинами на трех данных параллельных прямых.

Решение.

Допустим, что треугольник построен. Тогда, при повороте вокруг точки А против часовой стрелки на угол 60 градусов точка С переходит в точку В, а прямая m3 в прямую m.

Построение:

На прямой m1 взять точку А.

Повернуть прямую m3 вокруг точки А против часовой стрелке на угол 60 градусов. Прямая m3 переходит в прямую m . Точка пересечения этих прямых есть точка В.

Выполнить поворот вокруг точки А на угол 60 градусов по часовой стрелке точку В. Полученная точка и есть точка С.

Построить треугольник АВС.