1 Пр-во Е₃. Скалярное, векторное и смешанное произв-я вектров. Прилож-я к реш-ю задач.

Склярное про-е в-ов: Опр: Скаляр. про-ие и наз числом = про-ию длин эт. в-ов на cos угла м/у ними.

С-ва: 1) коммутативности ( ,то - скалярный квадрат в-ра)

2) 3)

4)Дистрибутивности 5) Если

Пусть задан ортонормир-й базис Все в-ры единичной длины и попарно . ;

; ;

Скаляр-ое про-ие в ортого-ом базисе- сумме произ-ий соотв. корд.

Векторный метод решения задач шк. кур. м-ки

1 )Линейные опер-и над в-ми

З.1 Дан ∆АВС т.М-сер. ВС ,

З.2 Дан ∆АВС т.М-т. пересеч медиан

З.3 Дан ∆АВС т.М-т. пересеч медиан

1. Точка отраж. послед. относит. вершин паралл-мма. Д-ть, что после 4-го отраж. она займет исходное полож. ∆МРМ₁: ; ∆М₁РМ₂ : ; ∆М₂РМ₃: ; ∆М₃РМ₄: ; ;

Ответ:

Векторное про-ие в-ов

О: Векто-ым про-ем а на b наз в-р удовл. св-ам:

1) , 2)

3) -правая тройка

С-ва век-ого про-ия:1) Век-ое про-ие 2-х в-ов= 0,т.к эти в-ры коллинеарны

2) Если // ,то численно =S параллеог-мма,построенного на этих в-ах

3) . 4) Таблица в-ых произвед. для базисных в-ов

	i	j	k
i	0	k	-j
j	-k	0	i
k	j	-i	0

5) , Д-во: λ=0 равенство очнвидно. Если // ,то р-во очевидно

1.λ>0

, длины в-ов a,b равны

 в-ры равны

2.<0 т.к и противоположны

6) С-во дистрибутивности: ;

7)Выражение векторного произ-ия через коородинты

Площадь тре-ка:A₁,A₂,A₃ A₁(x₁,y₁,z₁)

S _A1,A2,A3=

Смешанное произ-ие в-ов

Способы произ-ия:

1) -скалярно 2) -двойное век-ое приз-ие 3) -смешанное произ-ие 3-х в-ов(число)

-скалярное произ-ие вектор-ого произ-ия 1-х 2-х в-в на 3-й

С-ва: 1) Теорема: Для того чтобы 3 в-ра a,b,c были комплонарны(л.з.)чтобы их смеш-ое произ-ие было=0

2. Теорема:Смешан-ое приз-ие 3-х некомплонарных в-ов численно=объему параллепипеда,построенного на этих в-ах

3. 

4. Дистрибутивность:

5) , , i=1,2,3

,

,

( , )=

Объем тетраэдра: , A₁,A₂,A₃ ,A₄ A_i(x_i,y_i,z_i),i=1,2,3,4

2. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).

Рассм. в пр-ве некот. пл. . Мн. L всех вект-в, парал-х пл-ть , явл-ся двумерным вект-м подпр-вом трёхмерного ВП V. Подпр-во L назовём направляющим подпр-вом пл-ти . Пусть и - к.-либо пара лин. независ. вект. из L. Векторы и обр-т базис подпр. L, т.е. L явл.подпр, натянутым на векторы и : L= L( ; ). Т. о., направляющее подпр. = L( ; ) пл.  м. считать известным, если даны к.-либо 2 неколлинеарных в-ра и , парал-ые этой пл-ти. На пл.  с направляющим подпр. L( ; ) возьмём некот.точку M₀. Точка М лежит на пл.  т.и т.т.,к. в-ры , , компланарны и, след-но, когда их смешан-е произвед. =0: (1*). Запишем ур-е пл.  заданной разл-ми способами. Ур-е пл-ти, заданной точкой и направляющим подпр-вом:

Задача 1: В аффинной СК заданы своими коорд-ми точки M₀(x₀,y₀,z₀) и 2 неколлинеарных в-ра: (a₁,a₂,a₃) и (b₁,b₂,b₃). Написать ур-е пл. , проходящей ч.з. точку и имеющей направляющее подпр. L( ; ). │ │=0 (2*). Если т.М принадл. пл. , то имеет место рав-во (1*) и значит корд-ты x,y,z точки M удовл. ур-ю (2*). Если же т. М не лежит в пл. , то векторы , , не компланарны, поэт. не вып. рав-во (1*) и след-но корд-ты x,y,z точки M не удовлетв. ур-ю (2*). Т. о., ур-е (2*) есть ур-е пл-ти … Уравнение пл-ти, заданной тремя точками:

Задача 2: Написать ур-е пл-ти, проходящей ч.з. три не лежащие на одной прямой точки: M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃) заданные своими коорд-ми в некот.аффинной сист.коорд.

│=0.(3*)

Ур-е пл-ти, заданной точкой и перпендикулярным вектором.

Говорят, что вектор перпендикулярен пл-т , если перпендикулярен любому вектору из напр-го подпр-ва пл-ти .

Задача 3: В прямоуг.сист.коорд.заданы своими корд-ми т. M₀(x₀,y₀,z₀) и нулевой вектор (A,B,C). Написать ур-е пл-т , проходящей ч.з.т.М₀ перпендик-но вектору .

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 (4*) – это и есть ур-е пл-ти, проходящей ч.з. данную точку M₀(x₀,y₀,z₀) перпендикулярно вектору (A,B,C).

Параметрические уравнения плоскости:

Зададим в пр-ве аффинную сист.коорд. Пусть пл-ть  проходит ч.з.данную т. M₀(x₀,y₀,z₀) и имеет направляющее подпр-во L( ; ) с базисом , . Точка M(x,y,z) принадлежит пл-ти  т. и т.т,к. имеет место рав-во (*) (векторы , , компланарны), т.е. когда найдутся такие числа u, v, что = +v (5*) Следовательно, точка М принадлежит пл-ти  т. и т.т,к. выполняется рав-во (5*). Вектор имеет корд. (x-x₀,y-y₀,z-z₀), поэтому усл-е (5*) запишется в виде системы равенств:

x-x₀=ua₁+vb₁, y-y₀= ua₂+vb₂, z-z₀= ua₃+vb₃ (6*). Эти рав-ва называются параметрическими ур-ми пл-т , а u и v – параметрами.

Общее ур-е пл-ти:

Любую плоскость в пр-ве можно задать принадл.ей точкой и направляющим подпр-вом. Тогда в заданной аффинной сист.коорд. получим ур-е этой пл-ти в виде ур-я │ │=0 (2*). Раскрывая по элементам первого столбца определитель, находящийся в левой части ур-я, получим ур-е пл-ти в виде: Ax+By+Cz+D=0 (1), где А= , B=- , C= , D=-(Ax₀+By₀+Cz₀). Т.к. векторы и не коллинеарны, то в ур-и (1) коэф-ты А, В и С не равны нулю одноврем-но, и , значит, ур-е (2*) – ур-е первой степени. Это утв.можно выразить словами : любая плоскость есть поверхность первого порядка.

Теорема: Пов-ть в пр-ве, заданная в аффинной СК ур-ем 1й ст.(1), есть пл-ть. При эт. в-ры (0, -С, В), (-О, 0, А), (-В,А,0) принадлежат направляющему подпр. эт. пл. и к.-либо 2 из них обр-ют базис этого подпр.. Ур-е Ax+By+Cz+D=0 (1), наз. общим уравнением плоскости.

Взаимное расположение двух плоскостей:

Пусть в некот. аффинной СК даны пл. своими ур-ми: : А₁x+В₁y+C₁z+D₁=0 (3), = А₂x+В₂y+C₂z+D₂=0(4).

Т.к. координаты кажд. общ. точки пл-ей явл.я реш-ем сист. уравн.(3) и (4) и обратно, то вопрос о взаимном распол-и 2х плоскостей сводится к исслед-ю СЛУ (3) и (4).

Обозначим r и r’ соотв-но ранги матриц: ( ) и (добавл D₁ D₂), ясно, что r≤r’, причём по теореме Кронекера-Капелли система уравнений (3) и (4) совместна т.и т.т, к. r=r’. Таким образом пл. имеют хотя бы 1 общ. точку т. и т.т.,к. r=r’.

Возможны случаи: 1)r’=1. Это означает, что коэф-ты A₁, B₁, C₁, D₁ уравнения (3) пропорциональны коэф-там A₂, B₂, C₃, D₄ уравнения (4) (поэтому r=1) и уравнения (3) и (4) равносильны. Отсюда заключаем, что каждая точка одной из плоскостей и принадлежит другой плоскости, и поэтому плоскости и совпадают. Это надо понимать так: 2 уравн-я (3) и (4) опр-ют 1 и ту же плоскость. 2)r’=2, r=2. Тогда пл.и и различны (они не могут совпасть, т.к. r’>1) и имеют хотя бы одну общ. точку, поэтому они пересекаются по прямой. 3) r’=2, r=1. Сист. ур-й (3) и (4) несовместна, поэт. плоск. и не имеют общ. точек, т.е. параллельны.

Уравнение прямой в пр-ве: Пусть d – прямая в пр-ве. Люб. ненулевой вектор, параллельный эт. прямой, наз. её направляющим вектором. Ясно, что пр. имеет бесконечное мн. направляющих вект-в, любые 2 из кот. коллинеарны. Все эти векторы, вместе с нулевым вект-м, обр. одномерное векторное подпр., кот. наз.направляющим подпр-вом прямой d. Полож-е прямой d в пр-ве опр-ся полностью, если даны: а) направл.вектор пр. d и некот.её точка; б) 2 точки прямой; в) 2 пл-ти, пересек-ся по пр. d.

Канонические ур-я прямой: Пусть в пр-ве выбрана аффинная СК и в этой сист.известны коорд-ты некот.т. M₀(x₀,y₀,z₀) и корд.напр-го вектора прям. d. Напишем ур-я этой прямой. Сначала рассмотрим тот случай, когда ни 1 из коорд.вектора не =0. Очевидно т. M(x,y,z) лежит на прям. d т.и т.т,к.векторы и коллинеарны. Вект. им. корд-ты (x-x₀,y-y₀,z-z₀), поэтому усл-е коллинеарности векторов и запишется так: (1^). Эти рав-ва явл. ур-ми прямой d.

Если одна из корд.вектора =0, например: p₃=0, p₁≠0, p₂≠0, то усл-е коллин-сти векторов и запишется так: , (2^). Анал-но, если =0 две коорд-ты вектора , например: p₂= p₃=0, p₁≠0, то получаем: , (3^).

В этом случае прямая d паралл.оси Ox (если хоть одно из чисе y₀, z₀отлично от нуля) или совпадает с осью Ox (если y₀=z₀=0). Ур-я (1^), (2^), (3^) – канонические уравнения прямой.

Ур-я прямой, заданной двумя точками:

Пусть в пр-ве выбрана аффинная сист.коорд. и в этой сист.известны коорд-ты двух точек M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂) прямой d. Тогда вектор явл. направляющим вект. эт. прямой. Т.к.вектор им. коорд-ты (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁), то канонические ур-я пр. d при x₂-x₁≠0, y₂-y₁≠0, z₂-z₁≠0 согласно ф-ле (1^) имеют вид: (4^) . Если 1 из коорд-т вектора или 2 его коорд-ты =0, то для получения канонических ур-ий прямой следует восп-ся формулами (2^) и (3^).

Ур-е прямой, заданной двумя плоскостями: Пусть пр.d явл. линией пересечения пл-й ₁ и ₂, кот. в аффинной СК заданы ур-ми: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (5^). Точка M(x,y,z) лежит на пр. d т. и т.т,к. её коорд-ты явл.реш-м сист.ур. (5^), поэт. эта сист. и явл. ур-ми прямой d.

Лемма: Если в аффинной сист.коорд.прямая задана ур-ми (5^), то вектор ( ) является напр-щим вектором этой прямой.

Параметрические уравнения прямой:

Выберем какую-нибудь аффинную СК и зададим пр. d направляющим вектором и т. M₀(x₀,y₀,z₀). Т. M(x,y,z) пр-ва лежит на пр. d т.и т.т,к. векторы и коллинеарны, т.е. когда сущ. такое число t, что = . Это соотн. в коорд-ах запишется так: x-x₀=tp₁, y-y₀=tp₂, z-z₀=tp₃ или x=x₀+tp₁, y=y₀+tp₂, z=z₀+tp₃ (7^)– эти рав. наз.параметрическими ур. прямой, а t – параметром. Их смысл закл. в след-м: для любого действит. числа t точка с корд. (x,y,z), удовлетв. усл-ям (7^), лежит на пр. d. Обратно, если (x,y,z) – точка пр. d, то всегда найдётся такое t, что x, y и z выр-ся ч/з x₀, y₀, z₀, p₁, p₂, p₃ при пом. равенств (7^). Взаимное расположение прямых:

Пусть в пр-ве даны: прямая d₁ – точкой М₁ и направляющим в-ом и пр. d₂ – т-й М₂ и направляющим вект. . По векторам , , м. опр-ть взаимное расп-е прямых. Прямые d₁, d₂ лежат в 1ой пл-оскости тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны и, значит, им. место рав-во (*)

1. Прямые скрещиваются. 2 прямые наз. скрещивающимися, если они лежат в 1ой пл-ти (т.е. не сущ-ет плоскости, содержащей каждую из этих прямых). След-но, для того, чтобы дан-е пр. d₁ и d₂ были скрещ-ся, необх.и дост, чтобы для них имело место рав-во .

2. Прямые пересекаются. Прямые d₁ и d₂ перес-ся т.и т.т.,к. и векторы и не коллинеарны.

3. Прямые параллельны. Пр-е d₁ и d₂ параллельны т.и т.т,к. в-ры и коллинеарны, но векторы и не коллинеарны. ;4)Прямые совпадают. Пр-е d₁ и d₂ совпадают т.и т.т,к. вект. , и попарно коллинеарны. Взаимное расположение прямой и плоскости:

Пусть в пр. дана пр. d точкой M₀(x₀, y₀, z₀) и напрвляющим вект. , а пл. - общим ур. Ax+By+Cz+D=0, в аффинной СК. Возможны след.случаи их взаимного расположения:

1. Прямая и пл-ть пересекаются, т.е. имеют одну общую точку. Прямая d пересекает плоскость  тогда и только тогда, когда направляющий вектор пр. d не параллелен пл. , т.е. когда Аp₁+Bp₂+Cp₃≠0. Чтобы найти коорд. точки пересеч. пр. и пл-ти, н. решить сист, состоящую из ур-й прямой и ур-й пл-ти. 2)Прямая параллельна плоскости. Прямая d параллельна плоскости т.и т.т.,к. вектор параллелен плоскости и точка М₀ не лежит в этой пл-ти. Итак, соотношения выражают необходимое и достаточное условие того, что прямая d параллельна плоскост . 3)Прямая лежит в плоскости. Анал-но, пр. d лежит в пл.  тогда и только тогда, когда вып. рав-а: .