4. Обчислення інтеграла із заданою точністю

Задача обчислення певного інтеграла формулюється таким чином: обчислити c точністю ε при відомих значення меж інтегрування a, b, відомої точності ε і заданої підінтегральної функції f (x). При обчисленні інтеграла з точністю будуть використовуватися викладені раніше методи прямокутників, трапецій і парабол для обчислення інтеграла при заданому числі розбиття інтервалу інтегрування.

Варто відзначити, що в "чистому" вигляді методи обчислення інтегралу дають досить великі похибки, або виконуються дуже довго, тому в реальних задачах всі методи використовуються разом з Правилом Рунге, ідея якого полягає в тому, що спочатку інтеграл обчислюється для кроку h, а потім для кроку h/2. Якщо різниця між отриманими результатами лежить за рамках допустимої похибки, крок обчислень зменшується в 2 рази і розрахунки повторюються. Похибка буде зменшуватися при збільшенні кількості розбиттів інтервалу за рахунок більш точної апроксимації підінтегральної функції.

Тобто, нехай для обчислення інтеграла

застосовується одна з квадратурних формул з кроком h (числом вузлів n). Позначимо через S_h наближене значення інтеграла, отримане по цій формулі з кроком h, а через S_h/2 з кроком в два рази меншим (числом вузлів в два рази більшим), тоді для досягнення заданої точності ε при обчисленні інтеграла вибирають деякий крок h (фіксують число вузлів n), обчислюють S_h, потім послідовно зменшуючи крок в два рази (збільшуючи удвічі число вузлів) обчислюють S_h/2 до тих пір, поки не буде виконуватися співвідношення S_h S_h/2≤.

При досягненні цього співвідношення вважають

Визначення h будемо здійснювати наступним чином: нехай ε - задає точність обчислення інтеграла, тоді початкова кількість розбиттів n повинна обчислюватися наступним чином:

- крок інтегрування для методів прямокутників і трапецій пропорційний величині , тому рекомендовано початкова кількість розбиттів вибирати згідно наступного виразу де] [- ціла частина;

- крок інтегрування для методу парабол пропорційний величині , тому початкова кількість кроків рекомендовано вибирати з наступного виразу

Рис. 5. Блок-схема алгоритму методу подвійного перерахунку

Описаний метод називають також методом подвійного перерахунку. Блок-схема цього методу наведена на рис. 5. Зупинка розрахунків відбувається при виконанні умови (9), тобто, якщо послідовно обчислені два значення інтеграла з подвійним кроком розрізняються незначно.

Завдання до лабораторної роботи:

1. Сформулюйте математичну модель завдання;

2. Розробіть алгоритм розв’язування завдання. Для методів трапецій і Сімпсона розробіть алгоритми і представте їх у вигляді блок-схем.

3. Розділіть алгоритм на підалгоритми;

4. Проаналізуйте алгоритм, виділивши при цьому всі види даних, розділивши їх на вхідні, допоміжні та вихідні кожного підалгоритму. Для вихідних даних передбачте їх зберігання у файлі;

5. Визначте функції, які будуть реалізовувати підалгоритми (для кожного методу окрему функцією з можливістю вибору виклику функції в меню);

6. Визначте типи даних, класи пам’яті для даних, які розміщуються у внутрішній пам’яті, та параметри функцій;

7. Підготуйте тестові дані для перевірки коректності роботи програми;

8. Завантажте середовище програмування Visual Studio;

9. Введіть код програми;

10. Відкомпілюйте і налагодьте програму;

11. Здійсніть тестування роботи програми з використанням тестових даних;

12. Оформіть звіт про виконання лабораторної роботи.

Варіанти завдань:

Згідно з наданим номером завдання.

Зміст звіту:

1. Титульна сторінка з номером варіанта завдання;

2. Мета виконання роботи;

3. Завдання на лабораторну роботу;

4. Опис математичної моделі;

5. Алгоритм розв’язування завдання з поділом на під алгоритми у вигляді блок-схеми;

6. Код програми з коментарями;

7. Тестові дані для перевірки коректності роботи програми у формі:

Дано: <перелік вхідних даних>

Результат: <перелік вхідних даних>;

8. Скріншоти результату виконання програми;

9. Опис результатів тестування.

10. Код програми з детальним поясненням призначення кожного оператора.

11. Висновки.

Принцип оцінювання роботи:

Виконання роботи передбачають обчислення за трьома методами: методом прямокутників, трапецій, Сімпсона.

1. Завдання на оцінку «3» передбачає обчислення, яке здійснюється методом прямокутників;

2. Завдання на оцінку «4» передбачає обчислення, яке здійснюється методами прямокутників та трапецій і порівняння результатів обчислення, отриманих за цими методами.

3. Завдання на оцінку «5» передбачає обчислення, яке здійснюється методами прямокутників, трапеції та Сімпсона і порівняння результатів обчислення, отриманих за цими методами.