32. Байєсівські ймовірнісні мережі;

Байесовская сеть — это ориентированный граф, в кот кажд вершина помечена кол-венной вероятностной информацией. Полная спецификация такой сети описана ниже.

Вершинами сети является множество случайных переменных. Переменные могут быть дискретными или непрерывными.

Вершины соединяются попарно ориентированными ребрами, или ребрами со стрелками; ребра образуют множество ребер. Если стрелка направлена от вершины X к вершине Y, то вершина X называется родительской вершиной вершины Y.

Каждая вершина Xi характеризуется распределением условных вероятностей

P (Xi| Parents (Xi)), кот кол-венно оценивает влияние родительских вершин на эту вершину.

Граф не имеет циклов, состоящих из ориентированных ребер (и поэтому является ориентированным ациклическим графом (Directed Acyclic Graph — DAG)).

Топология сети (множество вершин и ребер) показывает отношения, определяющие условную независимость, которые проявляются в данной проблемной области, в том смысле, который вскоре будет точно сформулирован. Интуитивный смысл стрелки в правильно составленной сети обычно состоит в том, что вершина X оказывает непосредственное влияние на вершину Y. Для специалиста в проблемной области задача определения того, какие непосредственные влияния существуют в этой проблемной области, обычно является довольно легкой; действительно, она намного легче по сравнению с фактическим определением самих вероятностей. После того как составлена топология байесовской сети, остается только указать распределение условных вероятностей для каждой переменной с учетом ее родительских переменных.

Байесовская вероятностная сеть - направленный ациклический граф, представляющий совместное распределение случайных переменных. Применение байесовских сетей позволяет ослабить требование к условной независимости признаков, которое ограничивает применение простого классификатора Байеса. Каждый узел графа представляет собой случайную переменную, т.е. признак или атрибут классифицируемого объекта, а дуги – зависимости между ними. Если дуга графа проходит из вершины A в вершину B, то A называют предком B, а B – потомком A. Иными словами, байесовская сеть работает по принципу: каждая переменная зависит только от непосредственных родителей.

Таким образом, граф описывает ограничения на зависимость переменных друг от друга. Его структура и условные распределения узлов однозначно описывают совместное распределение всех переменных, что позволяет решать задачу классификации как определения значения переменной класса, для которого ее условная вероятность при заданных значениях признаков будет максимальной.

33. Об’єднаний розподіл ймовірності в Байєсівських ймовірнісних мережах;

Если ребро выходит из вершины A в вершину B, то A называют родителем B, а B называют потомком A. Множество вершин-предков вершины Yi обозначим как parents(Yi).

Если у вершины Yi нет предков, то его локальное распределение вероятностей называют безусловным, иначе условным. Если значение в узле получено в результате опыта, то вершину называют свидетелем.

Любая байесовская сеть представляет собой полное описание рассматриваемой проблемной области. Каждый элемент в полном совместном распределении вероятностей (которое ниже будет сокращенно именоваться "совместным распределением") может быть рассчитан на основании информации, представленной в этой сети. Универсальным элементом в совместном распределении является вероятность конъюнкции конкретных присваиваний значений каждой переменной, такой как P(Yi=yi /\ ... Yn=yn). В качестве сокращенного обозначения для такой конъюнкции будет использоваться выражение P(Yi...Yn). Значение этого элемента задается следующей формулой:

где parents(Yi) обозначает конкретные значения переменных в множестве вершин Parents (Yi). Поэтому каждый элемент в совместном распределении представлен в виде произведения соответствующих элементов в таблицах условных вероятностей (Conditional Probability Table — СРТ) байесовской сети. Таким образом, таблицы СРТ обеспечивают декомпонованное представление совместного распределения.